11.2. УСИЛИТЕЛЬ — КВАДРАТИЧНЫЙ ДЕТЕКТОР — ФИЛЬТР

11.2.1. Прямое описание случайного процесса на выходе фильтра.

Пусть линейные системы рассматриваемого типового звена характеризуются импульсными функциями: УПЧ-функцией и фильтр-функцией

Обозначим через детерминированный сигнал и -аддитивный гауссовский белый шум, действующие на входе УПЧ. Используя (6.58), процесс на выходе фильтра можно представить в виде суммы (сходящейся в среднеквадратическом)

где

— собственные функции и собственные числа однородного интегрального уравнения [см. (6.57), (6.55)]

Заметим, что интегральное уравнение (11.6) может быть приведено к другому уравнению, ядро которого есть произведение корреляционной функции шума на выходе УПЧ и импульсной функции фильтра. Для этого подставим (11.7) в (11.6) и изменим порядок интегрирования

Умножая обе части последнего равенства на и интегрируя по , получаем

где . Согласно (7.55) корреляционная функция процесса на выходе УПЧ

где — спектральная плотность белого шума на входе.

Следовательно, удовлетворяет интегральному уравнению

11.2.2. Анализ слагаемых процесса на выходе фильтра.

Из (11.3) следует, что задача анализа вероятностных характеристик случайного процесса на выходе рассматриваемого типового звена сводится к определению плотности вероятности суммы квадратов случайных процессов где детерминированы, а случайные процессы как интегралы от гауссовского белого шума, представляют гауссовские процессы. Покажем, что случайные величины и при некоррелированы, а следовательно, в силу нормального распределения — независимы.

Рассмотрим среднее значение произведения

Имея в виду, что корреляционная функция белого шума со спектральной плотностью равна и учитывая фильтрующее свойство дельта-функции (см. Приложение 1), находим

Но собственные функции линейного однородного интегрального уравнения (11.6) ортонормированы, поэтому

т. е. гауссовские случайные величины при независимы, причем любая из этих величин центрирована и дисперсия при любом

Из (11.9) следует, что случайные величины три также независимы.

Процесс на выходе фильтра непрерывный в среднеквадратическом и поэтому т. е. дисперсия бесконечной суммы в (11.3) ограничена. Отсюда следует, что отношение дисперсии любого слагаемого суммы к дисперсии всей суммы отлично от нуля, т. е. условие (3.109), при котором может применяться центральная предельная теорема для суммы независимых случайных величин, в рассматриваемом случае не выполняется.

Следовательно, распределение суммы (11.3) отличается от нормального, т. е. процесс на выходе фильтра негауссовский.

11.2.3. Распределение процесса на выходе фильтра.

Определим сначала характеристическую функцию суммы (11.3) при конечном числе слагаемых

так как в силу независимости совместная плотность вероятности случайных величин

(11.11)

Дополняя показатель экспоненты под знаком интеграла (11.10) до полного квадрата и интегрируя, после несложных алгебраических преобразований имеем

Переходя к пределу при находим одномерную характеристическую функцию процесса на выходе фильтра

(11.12)

Если сигнал отсутствует, то и из (11.12) следует

Одномерная плотность вероятности случайного процесса на выходе фильтра получается из (11.13) обратным преобразованием Фурье. Вычислить обратное преобразование Фурье от бесконечного произведения очень трудно. Приближение, быстро приводящее к требуемому результату, состоит в ограничении числа сомножителей в указанном произведении, т. е. в аппроксимации процесса на выходе типового звена конечным числом членов ряда (11.3). При этом (если все характеристические числа различны) интегрирование при преобразовании от характеристической функции к плотности вероятности выполняется достаточно просто методами теории вычетов. Однако достижение приемлемой точности потребует все же учета большого числа членов ряда (11.3).

11.2.4. Распределение процесса на выходе квадратичного детектора.

Заметим также, что в формуле (11.12) содержатся явно характеристические числа и неявно (в величинах ) собственные функции

Для определения которых необходимо еще решить интегральное уравнение (11.6). Решение этого интегрального уравнения получается чрезвычайно простым, если частотная характеристика фильтра равномерная на всех частотах. В этом случае и из (11.7), учитывая фильтрующее свойство дельта-функции, находим

(11.14)

Ядро (11.14) вырожденное: ему соответствует лишь одно собственное значение и одна собственная функция причем К находится из условия, что -нормированная функция, т. е.

Отношение

представляет дисперсию шумов на выходе УПЧ [см. (7.55 а)]. Из (11.12) находим в рассматриваемом случае характеристическую функцию

(11.15)

где — сигнал на выходе УПЧ.

Так как выходной фильтр имеет неограниченную полосу, то формула (-характеристическая функция процесса на выходе квадратичного детектора (квадрата гауссовского процесса с дисперсией ). Обратное преобразование Фурье от характеристической функции (11.15) совладает с (9.86) (конечно, при соответствующей замене а на ).

11.2.5. Узкополосный усилитель.

В этом случае после детектора отфильтровывается высокочастотная часть процесса и на фильтр подается квадрат огибающей

Представим узкополосный гауссовский случайный процесс на выходе УПЧ в виде суммы [см. (10.35)]

(11.16)

где — квадратурные составляющие сигнала — независимые (в совпадающие моменты времени), нормально распределенные квадратурные составляющие гауссовского шума . В этом случае процесс на выходе фильтра можно представить в виде суммы двух независимых в совпадающие моменты времени слагаемых

где

(11.19)

Так как составляющие распределены нормально, их корреляционные функции одинаковы и равны огибающей корреляционной функции процесса то соответствующее рассматриваемому случаю ядро интегрального уравнения (11.6) запишется в виде

(11.20)

где - огибающая импульсной переходной функции узкополосного УПЧ [см. (6.35 а)]. Интегральному уравнению (11.8) в рассматриваемом случае соответствует

(11.21)

Представляя каждое из слагаемых (11.17) суммой вида (11.3) и обозначая

(11.22 а)

[где u(t) и v(t) - квадратурные составляющие сигнала s(t)] по аналогии с (11.10) (при замене в этой формуле один раз s на , а другой раз на ) получаем следующее выражение для характеристической функции отфильтрованного квадрата огибающей:

(11.23)

Обратным преобразованием Фурье из (11.23) находим одномерную функцию распределения процесса на выходе фильтра. Если сигнал отсутствует, то и из (11.23) следует

(11.24)

Так же, как и в предыдущем случае, для получения плотности вероятности необходимо решить интегральное уравнение (11.21) для того, чтобы определить в (11.23) величины

Только тогда, когда частотная характеристика фильтра равномерна на всех частотах, произведение в правой части (11.23) содержит только один сомножитель

(11.25)

где — огибающая сигнала. Формула (11.25) определяет характеристическую функцию квадрата огибающей гауссовского процесса. Обратное преобразование Фурье функции (11.25) совпадаете (10.75).

11.2.6. Приближенный метод определения плотности вероятности процесса на выходе фильтра.

Решение интегрального уравнения (11.6) и преобразование Фурье от бесконечных произведений в общем случае связаны с большими математическими трудностями, которые преодолеваются путем некоторых приближений. Поэтому заслуживает внимания приближенный метод непосредственного определения плотности вероятности процесса на выходе фильтра, минуя этапы решения интегрального уравнения (11.6) и обращения характеристической функции. Этот метод основан на вычислении кумулянтов случайного процесса на выходе фильтра и аппроксимации искомой плотности вероятности при помощи этих кумулянтов (см. § 7.3).

Из (11.12) находим

(11.26)

откуда последовательным дифференцированием определяем кумулянтную функцию порядка случайного процесса на выходе фильтра [см. (4.13 а)]

Аналогично можно найти кумулянтную функцию квадрата огибающей, прошедшей через фильтр [см. (11.23)]:

(11.28)

Если сигнал отсутствует то

Входящие в (11.27) и (11.28) ряды можно выразить через итерации ядра [см. (4.61), (4.62)]:

(11.30)

Подставляя в интеграл (11.30) вместо ядра разложение и учитывая, что совокупность функций ортогональна и нормирована, получаем

(11.31)

Аналогично

Подставляя (11.31) и (11.32) в (11.27), находим

(11.33)

По формуле (11.33) можно определить кумулянты произвольного (порядка случайного процесса на выходе фильтра без решения интегрального уравнения (11.6).

Нетрудно записать выражение, аналогичное (11.33), и для кумулянтов профильтрованного квадрата огибающей

(11.34)

Если сигнал отсутствует, то двойные интегралы в (11.33) и (11.34) исчезают. В этом случае относительно просто вычисляются в общем виде кумулянты первых двух порядков: среднее и дисперсия. Например, из (11.33) находим

(11.36)

Конечно, формулы (11.35) и (11.36) получаются и непосредственно, если воспользоваться выражениями корреляционных функций квадрата гауссовского процесса или квадрата огибающей гауссовского процесса [см. (9.85) и (10.78)] и правилом преобразований корреляционной функции в линейной системе.