20.3. РАЗЛИЧЕНИЕ КВАЗИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ УЗКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНОЙ ГАУССОВСКОЙ ПОМЕХИ

20.3.1. Постановка задачи.

Предположим теперь, что каждый из передаваемых сигналов представляет узкополосный радиосигнал (ср. с п. 15.4.1)

(20.57)

где — детерминированные процессы (определяющие амплитудную и фазовую модуляции сигнала), которые медленно меняются за один период — случайная фаза, распределенная равномерно на интервале . Как и в § 20.2, предполагается, что в канале связи сигнал (20.57) искажается аддитивной гауссовской центрированной стационарной помехой с известной корреляционной функцией . Известны также априорные вероятности передачи каждого из сигналов.

Наблюдаемая на входе приемника реализация случайного процесса является аддитивной смесью неизвестного сигнала и помехи. Задачи различения квазидетерминированных сигналов (20.57) состоит в синтезе оптимального алгоритма, позволяющего по наблюдаемой реализации принять решение с том, какой из возможных сигналов содержит эта реализация. Под оптимальным критерием будем понимать максимальную апостериорную вероятность гипотезы о переданном сигнале (см. п. 20.1.3).

Отличие рассматриваемой задачи от задачи синтеза алгоритмов различения детерминированных сигналов состоит в том, что в ее постановке содержится параметрическая априорная неопределенность, связанная со случайностью начальной фазы сигнала (некогерентный прием).

В этом случае оптимальные алгоритмы различения в качестве достаточных статистик используют усредненные по случайной фазе отношения правдоподобия (при синтезе дискретно-аналогового алгоритма) или функционалы отношения правдоподобия (при синтезе аналогового алгоритма).

20.3.2. Оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм различения узкополосных сигналов.

Для синтеза оптимального дискрет-но-аналогового алгоритма различения сигналов (20.57) на фоне аддитивной гауссовской помехи используем фильтровой способ дискретизации, в результате которой получаем независимую выборку координат , где , определяется по формуле (20.35). «Сигнальные» координаты [см. (20.36)]

(20.58)

где

(20.59)

Формулу (20.58) можно записать в виде

(20.61)

где

(20.61 а)

Так как координаты представляют совокупность независимых гауссовских случайных величин с дисперсиями, равными единице, и со средними значениями при гипотезе равными [см. (20.61)] то, при фиксированной фазе функция правдоподобия векторной выборки этих координат

(20.62)

Из (20.62) получаем выражение логарифмов усредненных по начальной фазе отношений правдоподобия

(20.63)

где

(20.64)

Используя (20.63), получаем оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм различения сигналов: принимается решение [присутствует сигнал если

(20.65)

20.3.3. Оптимальный аналоговый алгоритм различения узкополосных сигналов.

Из (20.42) следует, что логарифм усредненных по начальной фазе функционалов отношения правдоподобия

(20.66)

где

(20.67)

а функции представляют решение интегрального уравнения {см. (20.43)]

(20.68)

Используя (20.66), получаем оптимальный аналоговый алгоритм различения сигналов: принимается решение присутствует сигнал если

(20.69)

Алгоритм (20.69), как и алгоритм (20.65), достаточно сложный. Его можно значительно упростить тогда, когда аддитивная помеха представляет гауссовский белый шум.

20.3.4. Оптимальный аналоговый алгоритм различения узкополосных сигналов на фоне белого шума.

Для белого шума находим следующее решение интегрального уравнения (20.68) [см. (20.51)]:

(20.70)

Теперь результат усреднения функционала отношения правдоподобия по случайной начальной фазе можно представить в замкнутом виде.

Для этого заметим сначала, что для узкополосных сигналов (20.57) при

(20.71)

Подставляя (20.70) в (20.67) и учитывая (20.71), получаем

(20.72)

Обозначив

(20.72 б)

Запишем (20.72) в виде

(20.74)

Интеграл в первом слагаемом выражения (20.74) представляет модифицированную функцию Бесселя нулевого порядка:

(20.74 а)

Подставляя (20.74 а) в (20.74) и обозначая

(20.74 б)

получаем

(20.75)

В соответствии с общим алгоритмом (20.69) оптимальный аналоговый алгоритм различения узкополосных сигналов на фоне аддитивного гауссовского белого шума состоит в определении максимума (20.75): принимается решение, что передан сигнал если

(20.76)

где

(20.77)

Если сигналы равновероятны и энергии сигналов на интервале наблюдения одинаковы, т. е. , то, учитывая монотонность функции Бесселя при приходим к более простому алгоритму: принимается решение, что передан сигнал если

(20.78)

определяется по формуле (20.73).

Структурная схема алгоритма (20.78) изображена на рис. 20.3.

20.3.5. Вероятность правильного решения.

Определим вероятность правильного решения при использовании оптимального алгоритма (20.78) и дополнительном условии ортогональных сигналов

(20.79)

Указанную вероятность можно записать в виде

(20.80)

так как равенство, заключенное в фигурных скобках (20.80), и равенство (20.78) — эквивалентные события.

Случайные величины [см. (20.72 а и б)], как линейные функционалы гауссовского случайного процесса, представляют гауссовские случайные величины.

Рис. 20.3. Схема алгоритма различения квазидетерминированных сигналов на фоне белого шума: — линейные фильтры, согласованные с сигналами соответственно [см. (20.72 а и б)]

Принимая во внимание соотношение (20.71), которое характеризует узкополосность рассматриваемых сигналов, нетрудно определить средние значения и ковариации случайных величин

(20.81)

Из (20.73), а также (20.83), следует, что случайные величины , представляют модули случайных векторов на плоскости, компоненты которых независимы, распределены по норхмальному закону с постоянной для всех векторов дисперсией, равной т. е. отношению энергии сигнала к спектральной плотности белого шума. При средние значения компонент равны нулю [см. (20.81), (20.82)] и, следовательно, распределение случайных величин подчиняется закону Рэлея с параметром [см. (3.51)]. При случайная величина подчиняется обобщенному распределению Рэлея [см. (3.50)] с плотностью

(20.84)

Так как при совместная плотность распределения случайных величин

(20.85)

то в соответствии с (20.80) вероятность правильного решения

(20.86)

где и W определяются согласно (20.84), (20.85). После подстановки указанных функций плотности в (20.86) и ряда преобразований с использованием табличного интеграла получаем окончательно

(см. например, [60], п. 5.7.9).

20.3.6. Последетекторная обработка наблюдаемой реализации случайного процесса.

Часто целесообразно оптимальную обработку наблюдаемой реализации узкополосного случайного процесса осуществить после ее амплитудного и (или) фазового детектирования, т. е. используя медленно изменяющиеся огибающую и фазу узкополосного процесса (или квадратурные составляющие ) наблюдаемой реализации

Поскольку смодулированное колебание не содержит информации о передаваемых сигналах и служит лишь переносчиком этой информации, то оптимальные последетекторные алгоритмы различения сигналов, использующие огибающую и фазу, столь же эффективны, как и оптимальные додетекторные алгоритмы. Такие последетекторные алгоритмы назовем амплитудно-фазовыми, фднако могут быть синтезированы оптимальные алгоритмы, основанные на обработке только огибающей или только фазы наблюдаемого процесса.

Далее будут рассмотрены лишь амплитудно-фазовые оптимальные алгоритмы различения квазидетерминированных сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи. Для этого используем тот же подход, что и в § 15.4 для синтеза амплитудно-фазовых оптимальных алгоритмов обнаружения квазидетерминированных сигналов. Оптимальные амплитудные и оптимальные фазовые алгоритмы различения квазидетерминированных сигналов могут быть получены обобщением алгоритмов обнаружения, рассмотренных в § 15.5.

Для синтеза последекторных алгоритмов используем понятие комплексной огибающей (см. п. 15.4.2). Узкополосные сигналы (20.57) и гауссовская помеха

(20.88)

где — комплексные огибающие сигнала и помехи, причем

(20.90)

Введем также комплексную огибающую наблюдаемой реализации

(20.91)

При гипотезе :

(20.92)

20.3.7. Дискретно-аналоговый амплитудно-фазовый оптимальный алгоритм различения квазидетерминированных сигналов.

Рассмотрим координаты комплексных огибающих наблюдаемой реализации смеси сигнала и аддитивной гауссовской помехи и сигнала

(20.93)

где - собственные числа и собственные функции комплексного интегрального уравнения [ср. с (5.115)]

(20.95)

— корреляционная функция комплексной огибающей стационарной гауссовской помехи.

Компоненты координат комплексной огибающей представляют совокупность независимых гауссовских случайных величин с дисперсиями, равными единице при любой гипотезе, и со средними значениями с (15.119)]

так как

Как и при выводе формулы (15.122), находим следующие выражения усредненных по равномерно распределенной фазе отношений правдоподобия:

(20.97)

где

(20.98)

Из (20.97) получаем следующий дискретно-аналоговый, амплитудно-фазовый оптимальный алгоритм различения квазидетерминированных узкополосных сигналов: принимается решение, что передан сигнал если

(20.100)

где

(20.101)

Заметим, что алгоритм (20.100) проще алгоритма (20.65), хотя оба они обладают одинаковой эффективностью.

При равновероятных сигналах и при из (20.100), учитывая монотонность модифицированной функции Бесселя при , получим более простой алгоритм: принимается решение, что передан сигнал если

(20.102)

20.3.8. Аналоговый амплитудно-фазовый оптимальный алгоритм различения квазидетерминированных сигналов.

Для перехода к пределу при в (20.97) используем тот же подход, что и в п. 15.4.4 для комплексных огибающих наблюдаемой реализации и сигнала . В результате получим следующее выражение усредненного по фазе функционала отношения правдоподобия [ср. с (15.134) и (20.97)]:

(20.103)

где

(20.104)

а функция — решение неоднородного линейного комплексного интегрального уравнения

(20.106)

где - корреляционная функция комплексной огибающей стационарной гауссовской помехи.

Из (20.103) получаем следующий аналоговый амплитуднофазовый оптимальный алгоритм различения квазидетерминированных узкополосных сигналов: принимается решение, что передан сигнал если

(20.107)

где

(20.108)

Заметим, что алгоритм (20.107) проще алгоритма (20.69), хотя оба они обладают одинаковой эффективностью.

При равновероятных сигналах и при из (20.107) получим более простой алгоритм: принимается решение, что передан сигнал если

(20.109)