Глава 20. РАЗЛИЧЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ

20.1. ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ

20.1.1. Общая постановка задачи различения сигналов.

Рассмотрим наиболее общую структурную схему системы передачи информации (рис. 20.1). Предположим, что источник информации передает сообщений, которым соответствуют сигналы На входе приемника наблюдается смесь одного из переданных сигналов со случайной помехой, искажающей сигнал при его прохождении через канал связи К Задача различения сигналов на фоне помех состоит в том, чтобы используя заранее выработанное правило, вынести решение о том, какой из возможных сигналов содержит наблюдаемый процесс.

Обозначим через реализацию случайного процесса наблюдаемую на интервале на входе приемника. Предположения о том, что был передан тот или иной сигнал, формализуются в виде статистических гипотез , где — гипотеза о том, что был передан сигнал . Если верна гипотеза то случайный процесс

где - случайная помеха, а символ характеризует взаимодействие сигнала с помехой

Задача различения сигналов на фоне помехи представляет многоальтернативный вариант задачи проверки статистических гипотез (см. п. 13.3.1). Решением в этом случае является принятие гипотезы и отклонение остальных гипотез Обнаружение сигнала на фоне помехи, которому была посвящена гл. 16, является частным случаем бинарной задачи различения двух сигналов при

Рис. 20.1. Структурная схема системы передачи информации

Заметим, что из общей формулировки многоальтернативной задачи различения при следует задача совместного об наружения и различения сигналов.

20.1.2. Априорные данные.

Общая формулировка задачи раз личения сигналов, приведенная в п. 20.1.1, должна быть дополнена априорными данными. Сведения о том, как часто передаются те или иные сигналы, можно использовать для задания априорного распределения вероятностей гипотез

Когда передача любого сигнала равновероятна,

(20.2 а)

Помеха предполагается аддитивной и, следовательно, символ в (20.1) означает суммирование. Кроме того, в большей части этой главы, за исключением § 20.4, аддитивная помеха — стационарный центрированный гауссовский случайный процесс с известной корреляционной функцией.

Проводится синтез как аналоговых, так и одношаговых дискретно-аналоговых алгоритмов различения сигналов. В последнем случае, как и в задаче обнаружения сигнала, непрерывная реализация подвергается временной дискретизации, и наблюдение представляется неоднородной выборкой заданного размера . Каждая выборка

является элементом векторного выборочного пространства, на котором задана система функций правдоподобия . Если аддитивная помеха — гауссовская, то

где

(20.4 а)

К — корреляционная матрица размером элементы которой определяются корреляционной функцией помехи:

(20.4 б)

Элемент , матрицы потерь является платой, соответствующей событию , т. е. совмещению решения о передаче сигнала когда истинной была гипотеза о передаче сигнала . Если , где — символ Кронекера, то матрицу потерь называют простой. В этом случае платы за правильные решения равны нулю, а за ошибочные — одинаковые. В задачах различения сигналов в системах связи чаще всего используется простая функция потерь.

20.1.3. Синтез оптимальных алгоритмов различения сигналов.

Если имеется полный комплект априорных данных, то можно синтезировать оптимальный байесовский алгоритм различения сигналов по критерию минимума среднего риска [см. (13.50)]

Байесовским алгоритмом различения сигналов является также алгоритм, оптимальный по критерию минимума апостериорного риска (см. п. 12.4.2):

Ограничимся байесовскими алгоритмами различения сигналов при простой функции потерь. Теперь из (20.5) следует

где при представляет вероятность перепутывания сигналов Поэтому формула (20.7) определяет вероятность ошибочного решения. Эту формулу можно также переписать в виде

которая определяет вероятность правильного решения.

Таким образом, при простой функции потерь байесовский алгоритм оптимален по критерию максимума вероятности правильного различения сигналов. При этом из (20.6) следует

т. е. байесовский критерий оптимальности совпадает с критерием максимума апостериорной вероятности гипотезы (см. п. 13.3.4).

Оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм различения сигналов (оптимальное правило выбора решения) формулируется в рассматриваемом случае следующим образом [см. (13.56)]: принимается решение о том, что передан сигнал ), если

(20.10)

Так как логарифм - монотонная функция, то оптимальное правило (20.10) можно переписать в виде

(20.11)

20.1.4. Достаточные статистики.

Минимальной достаточной статистикой в рассматриваемой задаче синтеза оптимального алгоритма различения сигналов является скалярных функцйй векторной выборки — отношений правдоподобия

или логарифмов отношений правдоподобия

(20.126)

В регулярном случае (см. п. 13.9.2) существует предельная достаточная статистика — функционалов отношения правдоподобия

(20.13 а)

или логарифмов функционалов отношения правдоподобия

(20.13 б)

Используя достаточную статистику (20.126), можно оптимальный по критерию максимума апостериорной вероятности дискретно-аналоговый алгоритм (20.41) различения сигналов представить следующем виде [см (13.57)]: принимается решение о том, что передан сигнал ), если

(20.14)

и решение о том, что передан сигнал если

(20.14 б)

Если в соотношениях (20.14), (20.14 а,б) отношения правдоподобия заменить функционалами отношения правдоподобия (20.13 а), то получим оптимальные по указанному выше критерию аналоговые алгоритмы различения сигналов.