4.3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

4.3.1. Общие свойства корреляционной функции.

Из определения (4.16) следует, что корреляционная функция случайного процесса симметричная:

Рассмотрим среднее значение квадрата линейной комбинации значений случайного процесса

где — произвольные действительные величины и — любое целое число.

Заменяя квадрат суммы двойной суммой, меняя порядок суммирования и усреднения, получаем

Условия (4.47) и (4.49) означают, что корреляционная функция представляет симметричное ядро положительно полуопределенной квадратичной формы. Эти условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция двух переменных была корреляционной функцией случайного процесса.

Если М — корреляционная матрица, элементы которой

то необходимым и достаточным условием положительной определенности квадратичной формы является (см. [3])

(4.50 а)

Из (4.49), (4.50) и (4.50 а) при следует причем

— среднее значение квадрата случайного процесса

Если представляет изменение напряжения или тока на нагрузке 1 Ом, то, как следует из (4.52), размерностью корреляционной функции является мощность процесса. Поэтому корреляционную функцию называют энергетической характеристикой случайного процесса.

Отметим, что эквивалентным приведенному ранее необходимому и достаточному условию того, чтобы функция двух переменных была корреляционной функцией, является следующее условие: корреляционная функция должна быть симметричным ядром положительной полуопределенной интегральной формы

для любого фиксированного значения Т и любой действительной

функции интегрируемой с квадратом, т. е.

Корреляционная функция центрированного случайного процесса

где — среднее значение . Часто под корреляционной функцией случайного процесса имеют в виду корреляционную функцию (4.54) центрированного процесса

Условия (4.47), (4.48) обобщаются на корреляционную функцию комплексного случайного процесса [см. (4.25)]:

(4.55 а)

где черта сверху указывает на комплексно сопряженную величину.

Для того чтобы функция двух переменных была взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов необходимо и достаточно, чтобы

где — корреляционные функции процессов соответственно.

4.3.2. Ортогональное разложение корреляционной функции.

Представим корреляционную функцию случайного процесса в виде ряда

Функции образуют систему ортогональных нормированных функций, т. е.

(4.57 а)

где — символ Кронекера [см. (2.79)].

Умножая обе части (4.57) на интегрируя по у в пределах и используя (4.57 а), найдем, что должны быть собственными функциями (решениями) и собственными числами однородного линейного интегрального уравнения

Умножая обе части (4.58) на интегрируя затем по t в пределах от —Т до Т и учитывая (4.53), (4.57 а), убеждаемся, что собственные числа . Так как корреляционная функция положительно определенная, то совокупность собственных функций полная. Это означает, что на интервале не существует больше ни одной функции которая была бы ортогональна всем

Из (4.57) при находим выражение для среднего значения квадрата случайного процесса

Интегрируя обе части (4.59) по с учетом (4.57 а) получаем

Нетрудно показать, что в общем случае сумма обратных степеней собственных чисел

— -кратная итерация корреляционной функции у), т. е.

4.3.3. Корреляционная функция стационарного процесса. Для стационарного в широком смысле случайного процесса среднее значение постоянно , а корреляционная функция зависит только от сдвига во времени:

Если функция непрерывна в начале координат, то

Далее

и, следовательно, дисперсия случайного процесса

Из симметрии корреляционной функции [см. (4.47)] следует, что корреляционная функция стационарного в широком смысле случайного процесса является четной:

а из (4.51) следует

На рис. 4.6 построена типичная корреляционная функция стационарного (в широком смысле) случайного процесса. Следует отметить, что приближение при не всегда происходит монотонно, иногда значения корреляционной функции колеблются около стремясь к этой величине при увеличении

Отношение

для центрированного случайного процесса называют нормированной корреляционной функцией.

Из приведенных формул следует

Нормированная корреляционная функция может принимать нулевые значения и при конечном т. Однако равенство этой функции нулю еще не означает независимость двух значений случайного процесса в моменты времени t и

Для стационарного случайного процесса всегда можно указать такое при котором величины для любого t можно считать практически некоррелированными в том смысле, что при абсолютное значение нормированной корреляционной функции остается меньше заданного, например Величину то называют интервалом корреляции. Иногда интервал корреляции то определяют следующим образом:

4.3.4. Взаимная корреляционная функция стационарно связанных процессов.

Взаимные корреляционные функции двух стационарных и стационарно связанных в широком смысле случайных процессов определенные согласно (4.45), зависят только от сдвига во времени. Вообще говоря, эти взаимные корреляционные функции не являются четными (в отличие от корреляционной функции стационарного случайного процесса). Например, Но из (4.22) следует

Нетрудно доказать, что

Отношение

для центрированных случайных процессов называют нормированной взаимной корреляционной функцией.

4.3.5. Спектральный анализ случайных процессов.

При изучении детерминированных процессов весьма успешно применяется гармонической анализ: ряды Фурье — для периодических процессов, интеграл Фурье — для апериодических. Желательно было бы иметь столь же простой и эффективный математический аппарат при изучении случайных процессов. Непосредственное приложение классического гармонического анализа к случайным процессам невозможно.

Рис. 4.6. Корреляционная функция стационарного случайного процесса

Это следует из того, что реализация случайного процесса не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, т. е.

и, следовательно, «амплитудный» спектр такой реализации не существует (неограничен) при любых частотах. Чтобы преодолеть возникающее затруднение, в качестве спектральной характеристики случайного процесса была введена спектральная плотность мощности.

Рассмотрим реализацию случайного процесса Пусть -усеченная реализация, равная нулю вне интервала и совпадающая с внутри этого интервала. Спектр (преобразование Фурье) финитной функции

Из (4.75) следует, что при спектр неограничен на любой частоте .

Если — напряжение или ток на нагрузке 1 Ом, то средняя мощность на частоте , отнесенная к полосе , т. е. спектральная плотность мощности усеченной реализации,

При случайная величина (на множестве реализаций) не стремится, вообще говоря, к определенному пределу (в [60, п. 3.5.5] показано, что дисперсия этой величины при остается конечной на любой частоте ). Поэтому в качестве спектральной характеристики принимают предел при среднего значения спектральной плотности мощности усеченной реализации

Функцию называют спектральной плотностью средней мощности случайного процесса . Эту функцию для краткости иногда будем называть спектром.

4.3.6. Теорема Хинчина — Винера.

Из (4.76) следует, что среднее по множеству реализаций случайной величины

Вводя корреляционную функцию процесса можно представить в виде

Предположим, что случайный процесс стационарный (по крайней мере, в широком смысле). Тогда и, следовательно,

Разбивая в (4.78) область интегрирования по на две вдоль диагонали квадрата и вводя переменные для областв над диагональю для области под диагональю получаем (рис. 4.7)

или

Из (4.79) при следует

при условии, что корреляционная функция абсолютно интегрируема, т. е. что

(4.80 а)

Для того чтобы выполнялось условие (4.80 а) необходимо, чтобы процесс был центрирован.

Формула (4.80) означает, что спектральная плотность мощности стационарного в широком смысле случайного процесса получается преобразованием Фурье корреляционной функции этого процесса.

Рис. 4.7. Область интегрирования

Отсюда следует также, что корреляционная функция получается обратным преобразованием Фурье спектральной плотности стационарного в широком смысле случайного процесса.

Формулы (4.80) и (4.81) являются аналитическим представлением теоремы Хитина—Винера, корреляционная функция и спектральная плотность мощности стационарного в широком смысле случайного процесса являются парой преобразований Фурье [11. 12].

Замечая, что ввиду четности корреляционной функции, перепишем (4.80) в тригонометрической форме

Из (4.77) и (4.82) следует, что спектральная плотность мощности является неотрицательной, непрерывной, четной функцией частоты, причем имеется в виду четность (симметрия) относительно нулевой частоты, т. е. Используя свойства четности функции перепишем также и (4.81) в тригонометрической форме

Из (4.83) при находим, что средняя мощность стационарного в широком смысле случайного процесса

а спектральная плотность мощности при [см. (4.80)]

равна удвоенной площади, ограниченной корреляционной функцией.

4.3.7. Соотношение неопределенности.

Корреляционная функция и энергетический спектр стационарного в широком смысле случайного процесса как пара преобразований Фурье обладают всеми присущими этому преобразованию свойствами. В частности, чем «шире» спектр , тем «уже» корреляционная функция и наоборот.

Площадь, ограниченную кривой спектра, отнесенную к спектральной плотности на некоторой характерной частоте, называют шириной полосы спектра

Эту величину можно трактовать как ширину равномерного в полосе спектра процесса, эквивалентного данному по средней мощности.

Если , то величину определяют из (4.86) при

Согласно (4.71) интервал корреляции стационарного в широком смысле центрированного случайного процесса при [см. также (4.85)]

Из (4.87) и (4.88) следует

т. е. произведение интервала корреляции на ширину полосы спектра — постоянная величина. Формулу (4.89) можно назвать соотношением неопределенности (по аналогии с известным соотношением в квантовой механике). Она получена при условии, что корреляционная функция неотрицательна и . Можно снять эти ограничения, если определить эффективный интервал корреляции и эффективную ширину полосы спектра как «радиусы инерции» квадратов соответствующих функций:

Для величин и определенных из (4.90) и (4.91), соотношение неопределенности записывается в виде

4.3.8. Взаимная спектральная плотность.

Аналогично изложенному в п. 4.3.5, рассматривая усеченные реализации случайных процессов и и вводя преобразования Фурье этих усеченных реализаций, можно определить взаимную спектральную плотность случайных процессов

(4.93)

где черта сверху указывает на комплексно-сопряженную величину.

Применяя с небольшими изменениями метод, использованный при выводе соотношения (4.80), можно установить связь между взаимной спектральной плотностью и взаимной корреляционной функцией стационарных и стационарно связанных (в широком смысле) случайных процессов:

Таким образом, взаимная спектральная плотность и взаимная корреляционная функция представляют пару преобразований Фурье. Необходимо отметить, что в отличие от спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса, который является действительной четной функцией частоты, взаимная спектральная плотность двух процессов — комплексная, так как функция не является, как отмечалось, четной.

Представляя взаимную спектральную плотность в виде получим , т. е. действительная часть функции — четная, а мнимая — нечетная. Тогда из (4.95)

Из (4.72) следует, что взаимные спектры являются комплексно-сопряженными величинами.

4.3.9. Энергетические характеристики суммы случайных процессов.

Рассмотрим сумму стационарных и стационарно связанных случайных процессов

Из (4.97) непосредственно следует формула для корреляционной функции процесса

Преобразованием Фурье от обеих частей (4.98) получаем спектральную плотность мощности суммы зависимых случайных процессов

Если суммируемые случайные процессы некоррелированы между собой, то корреляционная функция суммы равна сумме корреляционных функций слагаемых, а спектральная плотность мощности — сумме спектральных мощностей слагаемых.

4.3.10. Спектральная плотность мощности нестационарного случайного процесса.

Рассмотрим текущий спектр усеченной реализации нестационарного случайного процесса

(4.100)

Среднее множеству реализаций мощности процесса на частоте на интервале времени

где

Заменяя переменную интегрирования и (разбивая область интегрирования на две, получаем

и так как

Определим мгновенную спектральную плотность мощности нестационарного случайного (процесса согласно равенству

где

Дифференцируя обе части (4.101) по t, находим

откуда, переходя к пределу при получаем

(4.104)

где — корреляционная функция нестационарного случайного процесса

Следовательно, мгновеннай спектральная плотность мощности и корреляционная функция нестационарного случайного процесса являются парой преобразований Фурье по переменным . Формулы (4.104) и (4.105) представляют обобщение теоремы Хинчина — Винера на нестационарные случайные процессы.

Из (4.105) следует

Введем среднее по времени

(4.106)

Подставляя (4.103) в (4.106) находим

Так как оогласно (4.100) [см. {4.75)], то

где как было указано в п. 4.3.5, — средняя (мощность процесса на частоте , отнесенная к полосе частот

В соответствии с общим определением (4.80) спектральной плотности мощности случайного процесса для нестационарного случайного процесса получаем

(4.107)

Из (4.104) и (4.106) следует также, что спектральная плотность мощности нестационарного (случайного процесса связана с усредненной по времени корреляционной функцией этого процесса преобразованием Фурье:

(4.108)

где

(4.109)