10.2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОГИБАЮЩЕЙ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА

10.2.1. Одномерная плотность вероятности и моменты.

Сравнивая (10.48) с (3.49), приходим к выводу, что задача нахождения плотности вероятности огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса [см. (10.36)] полностью совпадает с решенной в п. 3.2.3 задачей нахождения плотности вероятности длины вектора, компоненты которого независимы и распределены нормально с параметрами где — дисперсия стационарной составляющей процесса (10.36).

Используя (3.50), определим одномерную плотность вероятности огибающей

(10.56)

Таким образом, распределение вероятностей огибающей узкополосного гауссовского процесса в общем случае совпадает с обобщенным законом распределения Рэлея. Функция (10.56) при различных фиксированных значениях изображена на рис. 3.6. По мере увеличения отношения закон распределения огибающей приближается к нормальному [см. (3.52)]. Соответствующая (10.56) функция распределения в элементарных функциях не выражается, но может быть представлена в виде ряда

(10-56а)

Когда детерминированное слагаемое отсутствует соответствует обычному рэлеевскому закону распределения (на рис. 3.6 кривая 1), т. е.

(10.57 а)

В соответствии с (3.54) моменты огибающей

(10.58)

где — гипергеометрическая функция.

Если детерминированное слагаемое отсутствует, то

(10.59)

Явные выражения первых трех моментов даются формулами

Заметим [см. (10.56)], что распределение огибающей суммы детерминированного и узкополосного гауссовского стационарного случайного процессов не зависит от фазы Отсюда следует, что это распределение относится также и к огибающей суммы указанного случайного процесса и квазидетерминированного, отличающегося от рассмотренного случайной фазой Действительно,

так как условная плотность вероятности , как это следует из (10.56), равна

10.2.2. Двумерная плотность вероятности огибающей стационарного гауссовского процесса.

Переходя к определению двумерной функции распределения огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса, ограничимся подробными вычислениями для случая, когда детерминированное слагаемое отсутствует, т. е. когда гауссовский процесс стационарный. Тогда из (10.55) при находим

Интеграл по

не зависит от . Интегрирование дает постоянную, равную .

Таким образом, получаем двумерную плотность вероятности огибающей стационарного узкополосного гауссовского случайного процесса

Если то , и из (10.60) следует

т. е. при как и следовало ожидать, двумерная плотность равна произведению одномерных плотностей вероятности огибающей стационарного гауссовского процесса.

Соответствующая (10.60) двумерная функция распределения через элементарные функции не выражается, однако ее можно представить в виде ряда, если использовать разложение в степенной ряд функций Бесселя. Тогда

Заменяя переменные интегрирования и учитывая, что получающиеся при этом интегралы представляют неполную гамма-функцию [см. (1.31)], получаем

(10.61)

10.2.3. Двумерная плотность вероятности огибающей суммы детерминированного и гауссовского процессов.

Случай, когда присутствует детерминированный процесс, исследуется аналогично, хотя вычисления более громоздки. Приведем лишь окончательное выражение двумерной плотности вероятности огибающей:

где

Если детерминированный процесс представляет гармоническое колебание частоты и амплитуды то и из (10.62) следует

Когда , то и из (10.62) находим

т. е. двумерная плотность вероятности при как и следовало ожидать, равна произведению одномерных плотностей (10.56).

Огибающую узкополосного гауссовского случайного процесса можно назвать рэлеевским случайным процессом, а функции (10.60) и (10.62) — двумерными рэлеевскими плотностями вероятностей стационарного и нестационарного рэлеевских случайных процессов.

10.2.4. Корреляционная функция огибающей.

Зная двумерную плотность вероятности огибающей, можно найти ее корреляционную функцию, так как последняя — второй смешанный момент распределения. Связанное с этим вычисление двойного интеграла целесообразно проводить, используя изложенный в п. 2.5.5. метод разложения двумерной плотности вероятности в ряд по соответствующим ортогональным полиномам.

Рассмотрим подробно последовательность вычисления корреляционной функции огибающей стационарного гауссовского случайного процесса. Двумерная плотность вероятности огибающей при этом определяется формулой (10.60), а соответствующая ей одномерная — формулой (10.57). Если на интервале функцию принять за весовую, то ей соответствует совокупность ортогональных полиномов Лаггера [см. (2.90)]

Разложим двумерную рэлеевскую плотность вероятности (10.60) в ряд по этим полиномам:

(10.64)

Используя (10.64), представим корреляционную функцию огибающей рядом

и так как переменные в двойном интеграле разделяются, то

(10.65)

где

(10.66)

В интеграле (10.66) заменим переменную интегрирования . Тогда получаем [см. (2.90)]

Интегрируя (10.67) по частям раз, находим при

и так как , то

Для из (10.67) непосредственно следует

(10.68 а)

Подставляя (10.68) — (10.686) в (10.65), получаем выражение корреляционной функции огибающей узкополосного стационарного гауссовского случайного процесса

(10.69)

которое совпадает (с точностью до постоянного множителя ) с (9.29). Первый член ряда (10.69) равен квадрату среднего значения огибающей [квадрату среднего значения для рэлеевского распределения (10.57)]. Из (10.69) при находим . Дисперсия огибающей где — дисперсия исходного узкополосного стационарного гауссовского процесса.

Из (10.69) следует, что нормированная корреляционная функция огибающей стационарного гауссовского процесса

(10.70)

Сумма в правой части (10.70) содержит только четные степени и поэтому неотрицательна, т. е. . Она может обратиться в нуль, если только . Так как является необходимым и достаточным условием статистической независимости двух значений огибающей {см. (10.60)], то из некоррелированности двух значений огибающей стационарного узкополосного гауссовского случайного процесса следует их статистическая независимость.

Когда присутствует гармонический сигнал с амплитудой корреляционная функция огибающей

(10.71)