7.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

7.2.1. Среднее значение и корреляционная функция процесса на выходе системы.

Линейная система с непрерывным временем и с импульсной характеристикой преобразует согласно (6.27) случайный процесс, поданный на ее вход, в другой случайный процесс который является интегральной сверткой импульсной характеристики с входным процессом

Интеграл (7.38) определяется в среднеквадратическом смысле (см. п. 3.4.1).

Обозначим через среднее значение и корреляционную функцию процесса на входе линейной системы. Из (7.38) непосредственно следует

(7.40)

Средний квадрат процесса на выходе системы

а дисперсия

(7.41 а)

Для стационарного в широком смысле процесса на входе линейной системы формулу (7.40) можно переписать в виде

Из (7.42) видно, что процесс на выходе линейной системы с переменными параметрами нестационарен даже тогда, когда на входе его действует стационарный случайный процесс.

Используя (7.38), находим взаимную корреляционную функцию процессов на входе и на выходе линейной системы:

Рассмотрим теперь линейные системы с постоянными параметрами. В этом случае из (7.40), заменяя переменные находим

Бели процесс на входе линейной системы стационарен (по крайней мере, в широком смысле), то

(7.456)

В этом случае процесс на выходе линейной системы также стационарен в широтам смысле.

Формулу (7.45) можно представить в виде

где

В рассматриваемом случае взаимная корреляционная функция процессов на входе и на выходе линейной системы

Если в (7.45) вместо подставить произведение импульсных характеристик двух линейных систем, то получим формулу взаимной корреляционной функции процессов на выходах этих систем, когда на их входе действует процесс

Чтобы выполнить условие физической реализуемости линейной системы, необходимо в (7.39)-(7.41) положить при , а в (7.44)-(7.48) при

7.2.2. Спектральная плотность мощности процесса на выходе линейной системы.

Преобразованием Фурье от обеих частей (7.45) находим спектральную плотность мощности стационарного в широком смысле случайного процесса на выходе линейной системы с постоянными параметрами

Заменяя переменную под знаком интеграла и учитывая (6.30а) и (4.80), устанавливаем связь между спектральными плотностями мощности процессов на входе и на выходе линейной системы:

и так как , то

где — частотная характеристика линейной системы.

Формула (7.49) представляет закон преобразования спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса при его прохождении через линейную систему с частотной характеристикой С (а). Фазовая характеристика линейной системы, как и следовало ожидать, не влияет на этот закон преобразования.

Из (4.81) и (7.49) следует, что корреляционная функция случайного процесса на выходе линейной системы

Из (7.50) и (7.45) видно, что средняя мощность процесса на выходе линейной системы

Таким образом, задача о преобразовании спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса и его корреляционной функции при прохождении через линейные системы решается полностью формулами (7.45) — (7.50), если заданы частотная (или импульсная) характеристика системы и спектральная плотность мощности (или корреляционная функция) процесса на входе.

В соответствии с (4.94) взаимная спектральная плотность процессов на входе и на выходе системы

откуда следует

Нетрудно доказать, что взаимная корреляционная функция и взаимная спектральная плотность процессов на выходах двух линейных систем передаточными функциями когда на их входы действует процесс с корреляционной функцией и со спектральной плотностью мощности , равны

(7.516)

7.2.3. Воздействие белого шума на линейную систему.

Пусть на входе линейной системы действует белый шум — стационарный в широком смысле случайный процесс с равномерным на всех частотах энергетическим спектром которому согласно (4.116) соответствует корреляционная функция Тогда, используя (7.42) и фильтрующее свойство дельта-функции (см. Приложение 1), нетрудно найти выражение для корреляционной функции процесса на выходе линейной системы, на вход которой действует белый шум:

причем для физически осуществимой системы

При этом среднее значение квадрата процесса на выходе

Отметим, что при условии процесс на выходе линейной системы непрерывный в среднеквадратическом [см. (4.135)], в то время как процесс на входе — белый шум — этим свойством не обладает.

Используя (7.43), а также фильтрующее свойство дельтафункции, нетрудно убедиться, что

Таким образом, имеется простой корреляционный метод определения импульсной характеристики линейной системы: если на вход системы подается белый шум, то взаимная корреляционная функция процессов на входе (при ) и на выходе в точности совпадает с

Для линейных систем с постоянными параметрами из (7.52) следует [см. также (7.47)]

Следовательно, корреляционная функция белого шума на выходе линейной системы с постоянными параметрами с точностью до постоянного множителя совпадает со сверткой импульсных характеристик системы.

Из (7.49) находим спектральную плотность мощности случайного процесса на выходе системы, когда на ее вход действует белый шум:

т. е. эта спектральная плотность с точностью до постоянного множителя совпадает с квадратом частотной характеристики системы.

Из (7.55а) и (7.56) следует, что рассматриваемый процесс на выходе линейной системы будет непрерывным в среднеквадратическом, если

и дифференцируемым в среднеквадратическом, если

Отношение средней мощности производной к средней мощности процесса (см. п. 4.5.4)

7.2.4. Формирующий фильтр.

Из (7.55) следует, что стационарный в широком смысле - случайный процесс с корреляционной функцией можно рассматривать как реакцию на воздействие белого шума единичной интенсивности линейной системы с импульсной характеристикой , удовлетворяющей интегральному уравнению

Такую линейную систему называют формирующим фильтром. Процесс на выходе произвольной линейной системы с импульсной характеристикой когда на ее выходе действует процесс , можно рассматривать как реакцию на входной белый шум линейной системы, представляющей последовательное соединение формирующего фильтра и данной линейной системы (рис. 7.1, а):

Рис. 7.1. Последовательное соединение формирующего фильтра с линейной системой (а) и эквивалентная линейная система (б)

или как реакцию на воздействие белого шума линейной системы с импульсной характеристикой (рис. 7.1, б):

Вместо решения интегрального уравнения (7.58) для определения импульсной характеристики формирующего фильтра можно сначала найти передаточную функцию этого фильтра из уравнения

где — спектральная плотность мощности формируемого процесса. Эта задача сводится к факторизации функции , т. е. к разложению ее на два сомножителя которые содержат все полюсы в верхней и в нижней полуплоскостях соответственно, причем (см., например, [16]).

Стационарный в широком смысле процесс с рациональной спектральной плотностью мощности может воспроизводиться физически реализуемым формирующим фильтром (рис. 7.2), структура которого определяется дифференциальным уравнением (6.37), где — белый шум.

7.2.5. Воздействие белого шума на узкополосную линейную систему.

Предположим, что белый шум действует на вход узкополосной системы с симметричной относительно центральной частоты частотной характеристикой. В этом случае корреляционную функцию процесса на выходе линейной системы в соответствии с (6.35) и (7.55) можно представить в виде

и так как — функция, медленно изменяющаяся по сравнению с то интегралом

Рис. 7.2. Структурная схема формирующего фильтра

Так как свертка импульсных характеристик равна преобразованию Фурье от квадрата частотной характеристики, то, как видно из (7.62),

где

Из (7.62) и (7.63) следует, что на выходе узкополосной линейной системы, когда на ее вход действует белый шум, имеет место узкополосный случайный процесс. Условиями непрерывности и дифференцируемости в среднеквадратическом являются соответственно

В этом случае отношение средней мощности производной к средней мощности процесса [ср. (7.57)]

7.2.6. Интегрирующая цепь.

Передаточная функция этой цепи (при

а квадрат частотной характеристики

Ширина полосы пропускания в соответствии с (6.34)

Рис. 7.3. Нормированная корреляционная функция (а) и спектральная плотность мощности (б) процесса на выходе интегратора

Спектральная плотность мощности, корреляционная функция и нормированная корреляционная функция процесса на выходе интегрирующей схемы, когда на вход действует белый шум (рис. 7.3), согласно (7.56) и (7.55) определяются следующими выражениями:

Интервал корреляции процесса на выходе интегрирующей схемы

Хотя процесс на выходе схемы в этом случае непрерывен в среднеквадратическом, он не дифференцируем (см. п. 4.5.4). Действительно, средняя мощность процесса на выходе конечна, а интеграл

расходится (производная корреляционной функции терпит разрыв при ).

Заметим, что зависимости корреляционной функции и спектральной плотности не отличаются по виду от соответствующих зависимостей на рис. 5.4 и 5.5. Бели белый шум нормальный, то процесс на выходе интегрирующей цепочки нормальный марковский.

7.2.7. Одиночный колебательный контур.

Передаточная функция одиночного контура, образованного последовательным соединением катушки индуктивности L, конденсатора С и резистора с сопротивлением

где — резонансная частота и — затухание — величина, обратная добротности Q контура.

Квадрат частотной характеристики контура

Используя (6.34), находим ширину полосы пропускания

При большой добротности Q частотная характеристика имеет резко выраженную область резонанса в окрестности Тогда контур узкополосный и для него

Спектральная плотность мощности процесса на выходе такого контура, когда на входе действует белый шум (рис. 7.4.6),

а корреляционная функция в соответствии с (7.63) (рис. 7.4, а)

Процесс на выходе узкополосного колебательного контура узкополосный, он непрерывен в среднеквадратическом, но не дифференцируем, так как , а интеграл расходится. Интервал корреляции процесса

7.2.8. Многокаскадный резонансный усилитель.

Известно, что форма частотной характеристики многокаскадного усилителя с увеличением числа каскадов приближается (при некоторых условиях) к гауссовской кривой: полоса которой связана с параметром соотношением

Рис. 7.4. Нормированная корреляционная функция (а) и спектральная плотность мощности (б) процесса на выходе колебательного контура

Подобная частотная характеристика является идеализацией, так как линейная система с такой характеристикой физически неосуществима.

Спектральная плотность мощности на выходе такой системы, когда на вход действует белый шум, представляется гауссовской кривой

Заметим, что и спектр (7.71) не является, строго говоря, спектром стационарного случайного процесса, так как не четная функция огносйгельпо начала координат. Для того чтобы спектр был симметричен относительно частоты необходимо задать квадрат частотной характеристики в виде суммы Однако при , т. е. для узкополосного усилителя, влияние второго слагаемого незначительно.

В соответствии с (7.63) корреляционная функция и нормированная корреляционная функция процесса на выходе узкополосного усилителя

(7.72а)

Процесс на выходе узкополосного многокаскадного усилителя, когда на его вход действует белый шум, — узкополосный. Он не только непрерывен, но и дифференцируем в среднеквадратическом (любое число раз), так как конечны средние мощности процесса и его производных.

Из (7.72) получаем

а из (7.57) находим

Интервал корреляции процесса

7.2.9. Идеальный фильтр.

Уравнение частотной характеристики идеального фильтра имеет вид

При фильтр — узкополосная линейная система Прямоугольная частотная характеристика линейной системы, как и характеристика, имеющая форму гауссовской кривой, представляет собой математическую идеализацию, не осуществимую физически. Однако частотные характеристики некоторых реальных фильтров с сосредоточенными параметрами достаточно близки к прямоугольной.

Спектральная плотность мощности, корреляционная функция и нормированная корреляционная функция процесса на выходе идеального фильтра, когда на вход действует белый шум (рис. 7.5):

Заметим, что выражение (7.75) такого же вида, как и (7.63), т. е. представляет произведение медленно меняющейся функции на «высокочастотное заполнение» , хотя оно справедливо для любых , а не только для узкополосных фильтров. Однако указанная особенность имеет место лишь для прямоугольной частотной характеристики.

Рассматриваемый процесс на выходе идеального фильтра дифференцируем в среднеквадратическом (любое число раз). Средние мощности процесса и его производной определяются по формулам

где

(7.76 а)

Интервал корреляции процесса

Штриховая кривая на рис. 7.5, б соответствует низкочастотному фильтру

Корреляционная функция в этом случае имеет вид

7.2.10. Ограниченный по спектру белый шум.

Так как реальные процессы (сигналы, помехи, шумы) имеют конечную мощность, то белый шум представляет лишь идеализированную модель.

Рис. 7.5. Спектральная плотность мощности (а) и нормированная корреляционная функция (б) процесса на выходе идеального фильтра

Реальный шум ограниченной мощности можно рассматривать как реакцию формирующего фильтра на воздействие белого шума. Простейшей моделью такого шума служит ограниченный белый шум — стационарный в широком смысле случайный процесс с равномерной в полосе частот спектральной плотностью мощности. Формирующим фильтром такого ограниченного белого шума служит идеальный фильтр нижних частот.

Нормированная корреляционная функция ограниченного белого шума [см. (7.77)]

обращается в нуль в точках . Таким образом, два значения ограниченного белого шума, разделенные интервалом времени некоррелированы. Для гауссовского белого шума эти значения независимы.

Функции (7.78) соответствуют собственные функции и собственные числа

Некоррелированными координатами ограниченного белого шума являются случайные величины (см. п. 4.5.6)

а его ортогональное разложение на всей оси времени

представляет ряд Котельникова [см. (4.169)], в котором величины определяются по формуле (7.80).

Для ортогонального разложения ограниченного белого шума на конечном интервале необходимо использовать так называемые сфероидальные функции, представляющие собственные функции интегрального уравнения