13.10. ЗАДАЧИ

13.1. Проверяется простая гипотеза о том, что дисперсия центрированной гауссовской случайной величины равна против простой альтернативы что Имеется независимая случайная выборка принадлежащая этой гауссовской величине. Доказать, что оптимальный (по любому из критериев, рассмотренных в § 13.1) одношаговый дискретно-аналоговый алгоритм принятия решения определяется неравенствами

(1)

Получить следующие формулы для вероятностей ошибок первого и второго рода:

где — неполная гамма-функция, а также следующее соотношение между величинами

где — процентные точки распределения с степенями свободы (см. задачу 3.9).

13.2. Пусть представляют независимые выборочные значения, принадлежащие экспоненциальному распределению (см. задачу 2.1). Проверяется простая гипотеза Но о том, что параметр этого распределения против простой альтернативы, что Доказать, что оптимальный (по любому из критериев, рассмотренных в § 13.1) одношаговый дискретно-аналоговый алгоритм принятия решения определяется неравенствами

Получить следующие формулы для вероятностей ошибок первого и второго рода:

а также соотношение между величинами

где — процентные точки распределения с степенями свободы (см. задачу 3.9).

13.3. Проверяется простая гипотеза , что дисперсия центрированной гауссовской случайной величины равна против сложной альтернативы, что дисперсия Доказать, что при независимой выборке алгоритм, согласно которому отвергается гипотеза , если

где — процентная точка распределения с степенями свободы, является равномерно наиболее мощным относительно сложной альтернативы, если

13.4. Проверяется простая гипотеза , что параметр экспоненциального распределения (см. задачу 2.1) равен против сложной альтернативы, что кфкъ. Доказать, что при независимой выборке алгоритм, согласно которому отвергается гипотеза , если

где — процентная точка распределения с степенями свободы, является равномерно наиболее мощным относительно сложной альтернативы, если

13.5. Выдвигается простая гипотеза что выборка принадлежит нормальному распределению с вектором средних а и корреляционной матрицей , против простой альтернативы что это значение принадлежит нормальному распределению с тем же самым вектором средних и корреляционной матрицей К.

Показать, что оптимальное правило выбора решения формулируется следующим образом: принимается решение (корреляционная матрица равна КО, если для наблюдаемого вектора

и решение (корреляционная матрица равна ), если выполняется неравенство, обратное (11).

13.6. Доказать, что условный максимум функционала

условии достигается при

т. е. что