9.4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА ПОСЛЕ ЕГО НЕЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

9.4.1. Распределение квадрата гауссовского процесса.

Используем общую формулу (8.34) для определения двумерной плотности квадрата суммы детерминированного процесса и центрированного стационарного гауссовского случайного процесса с дисперсией и нормированной корреляционной функцией . Получим

где

Раскрывая гиперболические косинусы суммы и разности и группируя члены с косинусами и синусами, находим искомое выражение двумерной плотности вероятности квадрата гауссовского случайного процесса

Если детерминированная часть отсутствует , то из (9.84) получаем двумерную плотность вероятности квадрата стационарного гауссовского процесса

Одномерную плотность вероятности нетрудно определить из (9.84), если устремить тогда [ср. (3.12)]

При из (9.86) получаем плотность вероятности квадрата случайной величины, распределенной по нормальному закону с нулевым средним [ср. (3.12 а)]

Если в (9.86) гиперболический косинус можно заменить его асимптотическим приближением

Тогда формулу (9.86) можно переписать иначе:

(9.866)

9.4.2. Линейный детектор.

Используем общую формулу (8.36) для определения двумерной плотности вероятности процесса на выходе линейного детектора, когда на его вход действует центрированный стационарный гауссовский процесс с дисперсией и нормированной корреляционной функцией . Получим

где — функция Лапласа и — табулированный интеграл от двумерной нормальной плотности [см. (2.736)].

В соответствии с (8.36 а) одномерная плотность вероятности процесса на выходе линейного детектора