5.5. ИМПУЛЬСНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

5.5.1. Определение.

Многие известные задачи импульсной техники требуют исследования спектров последовательностей идентичных импульсов. Основные параметры, характеризующие геометрическую форму или положение этих импульсов (амплитуда, длительность, момент возникновения фронта и др.), могут изменяться по заданному закону или быть случайными. Последнее имеет место, когда импульсы искажаются случайными помехами или когда модулированную импульсную последовательность можно рассматривать как квазидетерминированный случайный процесс.

Назовем последовательность импульсов, параметры которых являются случайными величинами, импульсным случайным процессом. Если форма импульсов задана и случайными являются их параметры, то последовательности импульсов соответствует последовательность многомерных случайных величин, а именно: началу каждого импульса можно приписать случайные значения его параметров.

Импульсный случайный процесс определяется бесконечным множеством реализаций, каждая из которых пред» ставляет собой последовательность импульсов.

5.5.2. Классификация импульсных случайных процессов.

В зависимости от вероятностных характеристик моментов появления импульсов рассматривают три группы случайных процессов. К одной из них относятся случайные процессы, у которых известное число импульсов со случайными параметрами появляется на детерминированных тактовых интервалах времени. Такие процессы могут быть нестационарными. Действительно, два значения импульсного случайного процесса в момент прохождения импульса и в паузе между импульсами независимы. Значения импульсного случайного процесса могут стать зависимыми, если рассматривать два момента времени, относящихся к прохождению произвольной пары импульсов. Наконец, значение импульсного процесса определяется однозначно для паузы между импульсами. Таким образом, нормированная корреляционная функция импульсного случайного процесса при заданной разности двух моментов времени может принимать любое значение от нуля до единицы.

Среднее значение импульсного случайного процесса также зависит от времени. В паузах между импульсами оно всегда равно нулю, в то время как для моментов времени, соответствующих прохождению импульсов, среднее значение может быть не равно нулю и различно для разных импульсов. Рассматриваемую группу случайных процессов можно представить как «несущую» в форме периодической последовательности импульсов, параметры которой модулированы случайной стационарной модулирующей функцией с дискретным временем. Иначе говоря, указанные импульсные случайные процессы представляют собой результат наложения стационарной случайной последовательности параметров импульсов на детерминированную последовательность тактовых интервалов. Назовем эту группу импульсных случайных процессов импульсными процессами с детерминированным тактовым интервалом.

Другая группа объединяет такие импульсные случайные процессы, для которых характерно отсутствие какого-либо периодически повторяющегося тактового интервала. В отличие от процессов первой группы, для которых разность между моментами появления импульсов не может превосходить удвоенную длительность тактового интервала, для процессов второй группы эта разность может быть произвольной. Можно сказать, что сдвиг каждого импульса вызывает смещение всех последующих импульсов. Это означает отсутствие каких-либо признаков периодичности в импульсном случайном процессе. При некоторых дополнительных ограничениях, наложенных на распределения вероятностей интервалов между моментами появления импульсов, эти импульсные случайные процессы являются стационарными.

К рассматриваемой группе импульсных случайных процессов относятся: случайный телеграфный сигнал, клиппированный сигнал, получаемый из непрерывного предельным ограничением, последовательность стандартных импульсов, формируемых из клиппированного сигнала, и т. п. Назовем эту группу импульсных случайных процессов апериодическими импульсными случайными процессами.

Наконец, в некоторых задачах импульсной техники появляются процессы смешанного типа, для которых как параметры, так и число импульсов на заданных тактовых интервалах, вообще говоря, случайны. Подобные импульсные случайные процессы имеют место, например, в многоканальных системах с ИКМ, в системах, использующих статистическое уплотнение каналов, и др.

5.5.3. Общая формула для спектральной плотности мощности импульсного случайного процесса.

Рассмотрим усеченную реализацию (например, ) импульсного случайного процесса, состоящую из импульсов, расположенных по Обе стороны от нулевого импульса, связанного с началом отсчета времени.

Обозначим через преобразование Фурье этой последовательности импульсов, пусть расстояние между крайними импульсами . Вообще говоря, величина для импульсного случайного процесса является случайной. Пусть — дисперсия интервалов между импульсами и за достаточно большой промежуток времени в какой-то реализации импульсного случайного процесса проявилось импульсов. Тогда

и асимптотически , где Т — среднее значение интервала между импульсами.

В соответствии с общим определением спектральной плотности мощности случайного процесса [см. (4.77)] запишем выражение спектральной плотности мощности импульсного случайного процесса ) в виде

(5.108)

Обозначим через случайные моменты возникновения и окончания импульсов, причем четному значению индекса соответствует начало импульса, а нечетному — конец. Присвоим каждому импульсу реализации импульсного случайного процесса номер — число (положительное или отрицательное), равное половине числа в индексе соответствующего началу импульса. Последовательность моментов времени, соответствующих началам импульсов, упорядоченная, т. е. . В отношении моментов времени с нечетными индексами такое требование, вообще говоря, необязательно, т. е. могут быть случаи, когда при и это будет означать, что импульс перекрывается со всеми последующими импульсами, номер которых, по крайней мере, меньше, чем l.

Обозначим через функцию, описывающую во времени импульс реализации. Эта функция должна тождественно обращаться в нуль вне интервала . Пусть форма импульсов задается детерминированной функцией времени которая тождественно равна нулю вне интервала . Импульсы любой реализации рассматриваемого случайного процесса получаются из умножением на случайное значение амплитуды сдвигом по оси времени на и делением на значение случайной длительности Таким образом,

Последовательность импульсов реализации процесса можно записать в виде суммы

Обозначим через преобразование Фурье функции :

(5.109)

Тогда

Для определения спектральной плотности мощности импульсного случайного процесса подставим (5.109 а) в общую формулу (5.108):

(5.110)

Из (5.110) видно, что для определения необходимо найти сначала среднее по множеству величины

(5.111)

где черта над g указывает на комплексно-сопряженную величину. Выделяя в двойной сумме члены, соответствующие и учитывая, что среднее суммы всегда равно сумме средних, находим

(5.112)

Ограничимся такими импульсными случайными процессами, у которых вероятностные характеристики импульсов не зависят от того, какой из импульсов последовательности принят за нулевой. При указанном ограничении величина

(5.113)

не зависит от номера импульса , а величина

(5.114)

зависит только от разности номеров двух импульсов. Тогда

(5.115)

а двойную сумму в (5.112) можно представить в виде

(5.116)

Подставляя (5.115) и (5.116) в (5.112) и учитывая (5.110), получаем общую формулу для спектральной плотности мощности импульсного случайного процесса

(5.117)

Если сходится, то

(5.118)

или

(5.118 а)

Предел в (5.117) может существовать также и в некоторых случаях, когда сумма расходится.

Формула (5.117) дает наиболее общее выражение спектральной плотности мощности импульсного случайного процесса с учетом взаимной корреляции его случайных параметров: амплитуд, длительностей и моментов возникновения импульсов.

5.5.4. Импульсные случайные процессы с независимыми параметрами.

Предположим, что случайные параметры импульсного случайного процесса независимы, но при этом будем учитывать корреляцию между однородными параметрами различных импульсов. Введем теперь вероятностные характеристики параметров импульсного случайного процесса. Обозначим через среднее значение и дисперсию случайных амплитуд, — коэффициент корреляции амплитуд импульсов — одномерную и двумерную функции распределения длительности импульсов, то, — среднюю длительность и дисперсию длительности импульса и коэффициент корреляции длительностей импульсов. Из (5.113) следует

(5.119)

где

(5.119 а)

а из (5.114) находим

(5.120)

где

(5.120 а)

Используя полученные соотношения, находим теперь из общей формулы (5.117) спектр импульсного случайного процесса с независимыми параметрами

(5.121)

Здесь функция определяется только совместным распределением моментов появления импульсов, а функция — только двумерным распределением длительностей импульсов. Из формулы (5.121) видно также, что спектр импульсного случайного процесса зависит от среднего, дисперсии и коэффициента коррреляции случайных амплитуд и не зависит от вида функции распределения этих амплитуд.

Формула (5.121) несколько упрощается, если длительности импульсов неограничены. В этом случае

где

(5.122 а)

В дальнейшем предполагается, что разнородные параметры импульсных случайных процессов (амплитуда, длительность, момент появления) независимы.

5.5.5. Импульсные случайные процессы с детерминированным тактовым интервалом.

В импульсных случайных процессах с детерминированным тактовым интервалом момент появления любого импульса реализации процесса можно представить в виде

(5.123)

где Т — длина тактового интервала; — случайная величина с нулевым средним.

Так как рассматриваемом случае за один такт возникает только один импульс, то не превосходит по абсолютному значению Т/2. Пусть известны характеристические функции случайных величин

Для рассматриваемой группы случайных процессов [см. (5.120 б)]

(5.124)

В том случае, когда однородные параметры различных импульсов также независимы, и

(5.125 а)

Обозначим

(5.126)

Нетрудно видеть, что когда все параметры независимы.

Используя (5.121) и (5.126), запишем для спектра импульсного случайного процесса с детерминированным тактовым интервалом

(5.127)

Нетрудно доказать (см. [1], с. 461), что

(5.128)

Из (5.127) и (5.128) следует, что энергетический спектр импульсного случайного процесса с детерминированным тактовым интервалом слагается из непрерывной и дискретной частей:

(5.129)

где

5.5.6. Апериодические импульсные случайные процессы.

Рассмотрим теперь импульсные случайные процессы, у которых нет детерминированного тактового интервала. Предположим, что интервалы между последовательными импульсами взаимно независимы. Обозначим интервал между моментами появления двух последовательных импульсов реализации через

(5-131)

и зададим характеристическую функцию случайной величины предполагая, что эта функция не зависит от , т. е. от того, где расположен интервал на оси времени. Можно показать, что при указанном предположении импульсный процесс будет стационарным в широком смысле.

Для исследования спектра рассматриваемого импульсного случайного процесса обратимся вновь к формуле (5.117). Если сохранить предположение о том, что отсутствует статистическая зависимость амплитуд импульсов от их длительности, то функция определяется по (5.119).

Для определения нельзя воспользоваться (5.120), так как это соотношение получено в предположении, что интервалы времени между моментами появления импульсов не зависят от их длительностей. Теперь необходимо отказаться от этого предположения. Действительно, интервал времени между моментами возникновения двух последовательных импульсов является суммой двух случайных величин: длительности импульса и длительности паузы между импульсами Следовательно, в общем случае случайные величины зависимы. Обозначим через характеристические функции случайных величин . В дальнейшем ограничимся случаем, когда длительности импульса и паузы независимы. Тогда

(5.132)

Так как

то из (5.114) для некоррелированных амплитуд непосредственно следует

где — среднее значение амплитуд импульсов.

В силу независимости случайных величин и независимости от номера интервала имеем

Учитывая, что

и обозначая:

(5.133)

получаем

(5.136)

Заметим, что так как 1 1

Учитывая, что при

а при указанная сумма может быть представлена дельта-функцией, из (5.117) с учетом (5.119) и (5.136) получаем следующее выражение энергетического спектра апериодического -пульсного случайного процесса:

(5.137)

Формула (5.137) указывает на существенное различие энергетических спектров апериодического импульсного случайного процесса и импульсного случайного процесса с детерминированным тактовым интервалом. Спектр (5.137) не содержит дискретной части, характерной для спектра процесса детерминированным тактовым интервалом (кроме одной дискретной компоненты, соответствующей постоянной составляющей процесса).

5.5.7. Импульсные случайные процессы смешанного типа.

Рассмотрим импульсный случайный процесс смешанного типа при следующих ограничениях:

форма всех импульсов идентична и задается нормированной функцией единичной амплитуды которая тождественно равна нулю вне интервала (0, 1);

межтактовая корреляция импульсов отсутствует; нет статистической связи между изменениями различных параметров импульсов (амплитуды, длительности, момента возникновения)

на данном тактовом интервале длительности импульсов и пауз статистически независимы;

вероятностные характеристики импульсов и пауз не зависят от их положения в тактовом интервале и от номера тактового интервала и задаются величинами среднего а и дисперсии амплитуды импульса, функцией распределения длительности импульса, характеристическими функциями паузы и интервала между появлением двух последовательных импульсов на данном тактовом интервале.

Обозначим, кроме того, через вероятность того, что на тактовом интервале длительностью Т находится точно импульсов,

Спектр рассматриваемого импульсного случайного процесса состоит из непрерывной и дискретной части, причем

Здесь использованы обозначения (5.119 а), (5.125 б), (5.134), (5.135).

Для импульсных случайных процессов с детерминированным тактовым интервалом при и из (5.138) и (5.139) как частный случай получаются формулы (5.130 а) и (5.130 б) (в этом случае момент появления импульса определяет длительность паузы v от начала тактового интервала).

Для апериодических импульсных случайных процессов для любого конечного при заданном конечном среднем расстоянии между импульсами. При этих условиях второе слагаемое в фигурных скобках (5.138) обращается в нуль, а (5.139) после раскрытия неопределенности переходит в Таким образом, для апериодических процессов из (5.138) и (5.139) следует (5.137).

Большое число интересных для практических приложений примеров, иллюстрирующих изложенную в этом разделе теорию импульсных случайных процессов приведено в [1, гл. 11] (см. также задачи 5.8-6.12).