15.5.8. Оптимальный фазовый алгоритм обнаружения слабого квазидетерминированного сигнала.

Рассмотрим задачу синтеза оптимального дискретно-аналогового фазового алгоритма обнаружения слабого квазидетерминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи. В этом случае к детерминированной координате фазы сигнала [см. (15.174)] добавляется случайная начальная фаза распределенная равномерно на интервале

Из (15.175) находим условное отношение правдоподобия при фиксированной начальной фазе

(15.182 а)

или

(15.182 б)

где

(15.183)

Усредняя отношение правдоподобия по случайной фазе получаем

(15.184)

Учитывая, что экспоненциальный множитель в (15.184) зависит только от априорных данных, а функция — монотонная при получаем для искомого алгоритма

(15.185)

где порог с по критерию Неймана — Пирсона определяется при заданном значении а вероятности ложной тревоги. Для этого необходимо знать плотность вероятности статистики при гипотезе Используем несколько видоизмененный метод, указанный в [5, гл. 4, § 4) для задачи о случайных блужданиях, когда независимые, равномерно распределенные на интервале случайные величины [см. (15.183)]. Тогда

(15.186)

Из (15.185) и (15.186) следует, что вероятность ложной тревоги

Для гармонического сигнала постоянной амплитуды

где

Если размер выборки велик , то распределение случайной величины асимптотически рэлеевское, когда верна гипотеза и обобщенное рэлеевское, когда верна гипотеза (см. 5, с. 187—188]). Параметры этих распределений равны соответственно [см. , где определяется по формуле (15.178). Тогда при находим в (15.185)

(15.188)

и рабочую характеристику обнаружения

(15.189)