13.8. СТАТИСТИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ АЛГОРИТМАХ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ
13.8.1. Предварительные замечания.
Если имеется независимая однородная выборка, то, используя некоторые статистики от нее, можно на эвристической основе получить непараметрические алгоритмы проверки гипотез, для которых вероятность ошибки первого рода остается постоянной при произвольных размерах выборки для любых распределений, характеризуемых плотностью 
Вероятность ошибки второго рода при использовании таких алгоритмов будет, в общем больше минимально возможной для данного распределения при альтернативе.
Рассмотрим следующие статистики, на основе которых могут быть получены непараметрические алгоритмы: знаковые, порядковые, ранговые и знаково-ранговые.
13.8.2. Знаковые статистики.
Пусть 
— наблюдаемая выборка. Введем знаковую функцию
(13.163)
Знаковым вектором выборки 
назовем вектор 
с компонентами 
. Пространство всех знаковых векторов выборки размером 
содержит 
точек. Произвольную функцию компонент знакового вектора назовем знаковой статистикой, а алгоритм, использующий знаковую статистику — знаковым алгоритмом.
Пусть рассматривается задача сдвига (см. п. 13.7.1) и априори известно, что при гипотезе Н наблюдения характеризуются плотностью 
которая принадлежит непараметрическому классу 
распределений, симметричных относительно нуля 
. Если выборка 
независимая, однородная, то число положительных и отрицательных знаков в выборке равновероятно для всех 
. При альтернативе 
вероятность появления положительных знаков больше вероятности появления отрицательных для всех 
Это позволяет использовать знаковую статистику для принятия или отклонения гипотезы Н о симметрии относительно нуля плотности распределения, которому принадлежит наблюдаемая выборка.
Для рассматриваемого симметричного распределения наблюдений, для которого плотность 
нетрудно записать распределение знакового вектора выборки 
размером 
:
(13.164 а)
где 
— вектор, содержащий k единиц, 
Заметим, что гипотеза Н о симметрии плотности 
относительно нуля влечет утверждение, что медиана распределения равна (нулю: 
(как уже отмечалось). Однако обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. из 
не следует обязательно симметрия распределения.
Иногда вместо знаковой функции (13.163) используют функцию единичного скачка [см. (2.7)], которая однозначно связана со знаковой функцией, так как
(13.165)
Вектор 
назовем положительным знаковым вектором выборки 
