Часть первая. АНАЛИЗ

Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

1.1.1. Математическая модель эксперимента.

В научных исследованиях, в технике и производстве часто не удается предсказать результаты экспериментов, испытаний, измерений или некоторых операций, многократно повторяемых при одинаковых условиях. Отказ от однозначного представления указанных результатов объясняется обычно не столько сложностью изучаемого явления, сколько незнанием всех причин, связанных с его возникновением или невозможностью задать необходимое число начальных данных.

Математическая модель эксперимента (испытания, наблюдения, измерения), которая является основой излагаемой далее теории, определяется фиксированным комплексом условий и возможностью многократного повторения эксперимента при этих условиях.

Результаты эксперимента могут быть детерминированы в том смысле, что условия эксперимента однозначно определяют его результат. Они могут быть неоднозначными в том смысле, что при неизменном комплексе условий эксперимента невозможно заранее предсказать его результат. Непредсказуемый результат эксперимента называют случайным событием. Теория вероятностей изучает закономерности случайных событий и способы их количественного описания.

Если наблюдать длинные серии результатов эксперимента, то обнаруживается следующая закономерность: отдельные результаты могут отличаться друг от друга, но средние значения, относящиеся к сериям результатов, остаются постоянными, проявляют статистическую устойчивость. Такая статистическая устойчивость является еще одной особенностью рассматриваемой математической модели эксперимента. Наконец, предполагается, что априори (до осуществления эксперимента) известно множество возможных результатов эксперимента.

Рассмотрим некоторое случайное событие А — один из возможных результатов эксперимента. Пусть при повторениях эксперимента событие А появляется раз. Величина

называется частотой появления события А при экспериментах. Очевидно, что зависит от . При наблюдении за ней в любой длинной серии рассматриваемого эксперимента обнаруживается статистическая закономерность — устойчивость частоты, т. е. приблизительно одни и те же значения величины При достаточно большом эта частота, мало изменяющаяся при увеличении может служить количественной мерой статистической закономерности появления события А.

Ясно, что частота появления события не может быть отрицательной или превосходить единицу, т. е.

Если под событием А понимать появление любого результата из множества априори возможных результатов, то Бели А и В — несовместимые события, а — числа появлений этих событий в серии экспериментов, то число появления события А или В равно и, следовательно,