§ 9. Поле ускорений. Разложение ускорения частицы на локальную и конвективную составляющие

При лагранжевом представлении движения (31) ускорение индивидуальной частицы легко находится повторным дифференцированием но времени согласно формулам (32). Следуя Эйлеру, необходимо найти распределение в пространстве ускорений всех частиц жидкости, т. е. поле ускорений; для этого надо объединить лагранжев и эйлеров методы, иными словами, с одной стороны, следить за индивидуальной жидкой частицей, с другой, принять во внимание наличие заданного поля скоростей, т. е. распределение скоростей в пространстве, в котором движется точка.

Рассмотрим изменение скорости данной индивидуальной частицы за время или, как иногда для краткости говорят, индивидуальное изменение скорости частицы.

Это изменение скорости, следуя методу Эйлера, можно рассматривать как состоящее из двух: 1) локального (местного) изменения, происходящего из-за изменения скорости в данной точке вследствие нестационарности поля и равного

и 2) конвективного, являющегося следствием неоднородности поля скоростей, в котором вдоль по траектории переместилась за время рассматриваемая частица; это изменение, если обозначить через

дифференциал дуги траектории, будет равно:

или по формулам (28) для производной вектора по направлению (орт касательной к траектории, очевидно, равен V/V):

Формула полного ускорения будет:

В проекциях на оси декартовых координат будем иметь:

Производные типа вычисленные вдоль траектории индивидуальной частицы среды (субстанции) по формулам (40), называют, как уже ранее упоминалось, индивидуальными, или, иногда, субстанциональными производными.

Аналитически те же формулы легко было бы получить по (32) и (33), вычисляя полные производные по времени от проекций скорости:

заданному полю скоростей (33) и формулам (40) ускорение легко вычисляется.

Используя равенство (30) и сохраняя для дифференциального тензора поля скоростей, являющегося мерой неоднородности скоростного поля, обозначение причем таблица (матрица) составляющих тензора будет иметь вид:

получим формулу ускорения в форме

подчеркивающей роль неоднородности скоростного поля в образовании конвективного ускорения.

Локальная часть ускорения равна нулю при стационарности скоростного поля, конвективная часть равна нулю, если поле однородно. Предположим, например, что жидкость участвует, как одно целое, в ускоренном поступательном движении, при котором скорости всех ее точек в любой момент равны между собой, но меняются во времени; в этом случае конвективное ускорение равно нулю и полное ускорение сводится к локальному.

Предположим теперь, что в покоящейся жидкости или жидкости, движущейся поступательно и равномерно, т. е. и в том и другом случае в однородном скоростном поле, мгновенно возникают ускорения, как это имеет, например, место при явлениях удара тела о поверхность жидкости, при начале движения тела в неподвижной жидкости и др. В этом случае ускорение сведется к локальному и только после того, как от действия локальных ускорений возникнет неоднородность поля скоростей, появится конвективное ускорение. Указанное соображение упрощает рассмотрение мгновенных явлений и лежит в основе теории удара.

Разложение ускорения на локальную и конвективную части может быть обобщено и на определение индивидуальной (субстанциональной) производной от некоторой скалярной, векторной или тензорной величины, связанной с индивидуальным движением жидкой частицы. Пусть, например, каждому положению частицы жидкости или газа в пространстве в определенный момент времени приписывается некоторая величина (например, температура частицы, плотность), тогда совокупность значений величины образует некоторое поле, и при движении жидкой частицы величина будет изменяться как в силу нестационарности поля (локальное изменение так и вследствие перемещения частицы с течением времени из одного пункта поля в другой (конвективное изменение Полная индивидуальная производная по времени от величины будет складываться из локальной производной и конвективной производной, равной с (37)]:

Окончательно для индивидуальной производной от скалярной функции 9 будем иметь:

Для любой векторной или тензорной функции а или связанной с движущейся индивидуальной частицей, получим: