§ 43. Теорема Жуковского о подъемной силе крыла. Зависимость подъемной силы от угла атаки. Коэффициент подъемной силы

Создание общей теории воздействия плоского потока идеальной жидкости на помещенный в него крыловой профиль является заслугой великого русского ученого Н. Е. Жуковского, опубликовавшего свою известную теорему о подъемной силе крыла в 1906 г. в классическом мемуаре "О присоединенных вихрях". Н. Е. Жуковский первый установил вихревую природу сил, действующих со стороны потока на крыло, и указал на наличие простой пропорциональности между этой силой и интенсивностью вихря, "присоединенного" к обтекаемому телу.

В предыдущем параграфе уже указывалось, что решение задачи об обтекании любого профиля содержит некоторый произвол: один и тот же профиль, при заданной по величине и направлению скорости набегающего на него потока, может обтекаться бесчисленным множеством образов. Все зависит от величины циркуляции скорости, вычисленной по замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый профиль. Величина этой циркуляции, так же как и природа возникновения в идеальной жидкости вихрей, сумма интенсивностей которых должна быть равна этой циркуляции, представляла долгое время неразрешимую задачу.

Физическая причина возникновения циркуляции связана с наличием трения (вязкости) в жидкости. Как уже неоднократно упоминалось ранее, в реальной жидкости, обладающей внутренним трением, частицы, проходящие в непосредственной близости к поверхности профиля, образуют тонкий пограничный слой. В этой области резко проявляется неидеальность жидкости, движение жидкости будет вихревым, причем интенсивность вихрей может достигать больших значений, так как скорость частиц в пограничном слое резко меняется от нуля на поверхности обтекаемого тела до величины порядка скорости на бесконечности на внешней границе слоя. Так, например, на крыле самолета максимальная толщина пограничного слоя не превосходит нескольких сантиметров, в то время как разность скоростей на поверхности крыла и на внешней границе пограничного слоя достигает величины 100-200 м в секунду.

При таких значительных неоднородностях скоростного поля суммарная интенсивность вихрей по всему крылу, а следовательно, и циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему крыло, может достигать больших значений.

Теория идеальной жидкости, не учитывающая наличия трения, естественно, не могла объяснить возникновения вихрей в набегающем на трло безвихревом потоке. Для того чтобы, оставаясь в рамках теории идеального безвихревого потока, определить величину воздействия

потока на помещенное в него тело, заменим, следуя Жуковскому, контур тела замкнутой линией тока и предположим, что внутри нее происходит движение жидкости с -вихрем, имеющим ту же интенсивность, что и сумма интенсивностей вихрей, которые образовались бы на самом деле в тонком слое на поверхности тела при обтекании его реальной жидкостью. Такой вихрь Н. Е. Жуковский назвал присоединенным к рассматриваемому твердому телу. Интенсивность "присоединенного вихря", или, что то же, циркуляция скорости по контуру, окружающему крыловой профиль, могла бы быть принципиально вычислена только при помощи расчета движения реальной жидкости в пограничном слое или при помощи некоторого дополнительного допущения об общем характере обтекания тела. По последнему пути пошел, как было указано в предыдущем параграфе, С. А. Чаплыгин, предложивший свой замечательный постулат конечности скорости на задней острой кромке крыла, позволивший определить величину "наложенной" циркуляции, или, что то же, интенсивность "присоединенного вихря".

Эти две глубокие идеи великих русских аэродинамиков Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина: присоединенный вихрь и постулат конечности скорости на задней кромке крыла — легли в основу всей современной теории крыла.

Рис. 89.

Начнем с доказательства теоремы Жуковского о подъемной силе крыла в плоскопараллельном потоке. Предлагаемое ниже векторное доказательство теоремы Жуковского только по форме отличается от классического доказательства этой теоремы, данной ее автором. Применим теорему количеств движения в форме Эйлера [§ 23, формула (38)] к объему жидкости, заключенному между поверхностью обтекаемого контура С (рис. 89) и проведенной в удалении от контура С окружностью круга с центром в точке О и радиусом Пренебрегая объемными силами, будем иметь, заменяя в формуле (38) § 23,

в силу плоского характера течения, на

В этом равенстве опущен, как равный нулю, перенос количества движения сквозь твердую поверхность профиля С. Первый интеграл представляет главный вектор сил давления со стороны обтекаемого тела на жидкость. Та же величина с обратным знаком определит искомый главный вектор сил давления жидкости на тело

где нормаль, внешняя по отношению к рассматриваемому объему жидкости. Таким образом, по предыдущей формуле получим выражение искомой силы через главный вектор давлений и перенос количества движения, относящийся к контуру удаленного от профиля круга

По теореме Бернулли

причем, как мы уже знаем, постоянная, стоящая справа, имеет в случае безвихревого движения одинаковое значение во всей области течения, а следовательно, и на круге так что

Разложим вектор скорости V на два слагаемых, положив

где скорость в бесконечном удалении от профиля, скорость возмущения, вносимого профилем в однородный плоскопараллельный поток. Относительно этой убывающей до нуля с удалением от обтекаемого тела скорости возмущений будем предполагать, что ее модуль V убывает с ростом расстояния от начала координат, вблизи которого помещен профиль, как у. Это предположение соответствует наличию "присоединенного" к телу вихря и конечности Циркуляции скорости по любому замкнутому контуру, например, окружности С, длины подробнее о порядке скорости возмущения будет сказано далее.

Подставляя указанное разложение скорости в равенство (82), получим:

По предыдущему [гл. I, формула (68)], первый интеграл равен нулю; пропадает также четвертый интеграл, так как при отсутствии источников — стоков и несжимаемости жидкости полный расход жидкости сквозь контур равен нулю:

Рассмотрим совокупность второго и пятого интегралов:

которую по известной формуле разложения тройного векторного произведения можно представить как

или, заменяя V на что можно сделать, так как при этом добавится интеграл

тождественно равный нулю, получим

Таким образом, будем иметь следующее выражение для главного вектора сил давления потока на профиль С:

Вектор

направлен по перпендикуляру к плоскости движения, а его проекция на этот перпендикуляр, которую мы обозначим просто через и будем считать знак входящим в определение величины окажется равной (рис. 89)

т. е. циркуляции скорости по контуру или по любому другому контуру, охватывающему обтекаемый профиль. Таким образом, первое слагаемое в выражении главного вектора сил не зависит от положения контура остальные два имеют порядок так как подинтегральные функции представляют величины порядка -К а длина контура интегрирования равна Отсюда при переходе к пределу, когда окружность удаляется на бесконечность следует искомая формула

где вектор определяется как криволинейный интеграл

взятый по любому контуру охватывающему обтекаемый профиль С, в частности по самому профилю С. Величина этого вектора равна циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему профиль.

Из равенства (84) находим величину главного вектора сил давления потока на тело:

Главный вектор, как показывает формула (84), лежит в плоскости течения и направлен перпендикулярно к скорости на бесконечности в сторону, определяемую векторным произведением (84). Обычно бывает очень трудно заранее определить, в какую сторону направлен вектор Г: внутрь или наружу относительно плоскости чертежа. Если известно направление обхода контура, при котором это направление условно называют направлением положительной циркуляции, или, короче, "направлением циркуляции" - тогда по общим правилам принятого у нас в курсе "правого винта" легко найти и сторону, в которую направлен вектор Так, если направление циркуляции совпадает с вращением по часовой стрелке, а поток набегает слева, вектор направлен вглубь чертежа, а сила -вверх; это Же можно получить, если вектор скорости повернуть на 90° в сторону, противоположную циркуляции.

Таким образом, приходим к классической формулировке теоремы Жуковского, данной самим автором: сила давленая невихревого потока, текущего со скоростью и обтекающего контур с циркуляцией выражается формулой:

направление этой силы мы получим, если вектор повернем на прямой угол в сторону, противоположную циркуляции.

Первый вывод, который следует сделать из теоремы Жуковского, заключается в отсутствии составляющей силы, направленной вдоль движения жидкости, или, что все равно, направления движения тела по отношению к жидкости, т. е. отсутствии силы сопротивления. Этот важный факт составляет содержание парадокса Даламбера, о котором была речь в историческом очерке, помещенном во вводной части курса. Теорема Жуковского подтверждает парадокс Даламбера для любого плоского безвихревого движения идеальной жидкости как при наличии "присоединенных вихрей", так и при отсутствии их. Единственной силой, действующей на обтекаемый профиль, оказывается поперечная движению тела сила, которая может быть названа подъемной или поддерживающей силой, так как именно эта сила обеспечивает подъем аэроплана в воздух, поддерживает его крыло при горизонтальном полете.

Воспользовавшись теоремой Жуковского и постулатом Жуковского-Чаплыгина, можно по формулам (86), (80) или (81) получить выражение величины подъемной силы в виде

впервые указанном Чаплыгиным.

Входящее в эту формулу произведение зависит от формы обтекаемого контура, так, например, по предыдущему (см. конец § 42) для пластинки и подъемная сила оказывается равной

В общем случае подъемная сила, согласно (87), оказывается пропорциональной плотности жидкости, квадрату скорости набегающего потока и синусу угла атаки.

Введем коэффициент подъемной силы как отношение подъемной силы к скоростному напору набегающего потока и длине хорды. Обычно ось направляют по скорости V,», тогда подъемная сила будет направлена по оси и может быть обозначена через или Вот почему коэффициент подъемной силы в нашей

литературе принято обозначать через а коэффициент сопротивления — через

При этом обозначении будем иметь хорда):

или в частном случае пластинки

Как показывают многочисленные опыты, при сравнительно малых углах атаки, при которых только и выполняется условие плавного схода струй с задней кромки, формула (88), переписанная в виде

довольно хорошо отражает действительную закономерность: коэффициент подъемной силы прямо пропорционален углу атаки, отсчитанному от бесциркуляционного направления, но коэффициент пропорциональности оказывается несколько завышенным. На рис. 90 представлены для сравнения теоретическая прямая и экспериментальная кривая для симметричного профиля с отношением максимальной толщины к хорде, равным Как видно из рисунка, в интервале углов атаки — (область отрицательных углов на рисунке не представлена, но она в силу симметричности профиля ничем не отличается от области положительных углов) расхождение между теоретическим коэффициентом подъемной силы пластинки и экспериментальным для тонкого профиля невелико.

Рис. 90.

Применять формулы Жуковского и Чаплыгина (86) и (87) к пластинке, строго говоря, нельзя, так как на переднем остром крае пластинки скорость обращается в бесконечность, что нарушает непрерывность обтекания. Становится непонятным, как вообще на пластинке может возникнуть сила, перпендикулярная направлению ее движения.

Действительно, при отсутствии трения нормальные к поверхности пластинки силы давления должны дать главный вектор, направленный также по перпендикуляру к плоскости пластинки, а не к скорости на бесконечности, как этого требует теорема Жуковского. При этом, наряду с подъемной силой, имелась бы и сила сопротивления. Этот парадокс был разъяснен Жуковским во второй из ранее цитированных статей. При действительном обтекании пластинки передний ее край представляет собою на самом деле некоторую поверхность очень малого радиуса кривизны, на которой возникает значительное разрежение, приводящее к направленной против течения "подсасывающей" силе, уничтожающей сопротивление.