§ 82. Одномерное прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа. Движение внутри скачка уплотнения. Понятие о толщине скачка

В предыдущих простейших примерах движения по цилиндрической трубе, равномерного и прямолинейного движения шара, диффузии вихревой нити были рассмотрены движения несжимаемой вязкой жидкости. Интегрирование уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости представляет большие математические трудности. Простейшим примером такого движения служит одномерное прямолинейное движение; этот, на первый взгляд совершенно тривиальный случай оказывается, однако, весьма интересным, так как поясняет внутренний механизм явления "скачка уплотнения" или "ударной волны".

Рассмотрим прямолинейное движение сжимаемого вязкого газа, параллельное оси и направленное в положительную сторону оси; из трех компонент скорости при этом остается лишь одна и; будем предполагать движение стационарным и одномерным, зависящим лишь от одной координаты х. Выведенные в § 77 дифференциальные уравнения движения, вместе с уравнениями баланса энергии, уравнением Клапейрона и уравнением зависимости коэффициента вязкости от температуры в этом случае значительно упростятся и примут вид:

Имеем замкнутую систему пяти уравнений с пятью неизвестными: Исследуем интегралы этих уравнений, конечные при

Прежде всего заметим, что уравнения (49) допускают тривиальные интегралы:

где индексом обозначены и будут в дальнейшем обозначаться постоянные, равные соответствующим значениям всех величин при Этим тривиальным интегралам соответствует однородный поток во всем пространстве

Однако это решение, удовлетворяющее условию конечности всех элементов при не единственное-, существует и другое — не тривиальное решение системы (49). Для разыскания этого решения заметим, что второе уравнение системы (49) имеет очевидный интеграл

а третье, если в нем положить для простоты интеграл

Пользуясь предыдущим интегралом и уравнением Клапейрона, перепишем первое уравнение системы (49) в интегрируемой форме:

что сразу даст интеграл

или

При составлении последнего интеграла, кроме ранее принятых граничных условии, использовано еще условие равенства нулю производной при вытекающее из конечности скорости на бесконечности.

Выражая в последнем уравнении через I, согласно последнему равенству (49), через и, согласно предыдущим интегралам, получим основное дифференциальное уравнение для определения скорости и как функции от

Прежде чем интегрировать полученное обыкновенное уравнение 1-го порядка, упростим его, перейдя к безразмерным координатам:

Будем иметь, деля обе части уравнения (50) на

или, замечая, что по формулам гл. IV:

получим

Определим корни числителя в правой части, чтобы узнать, при каких значениях и производная от скорости обращается в нуль; для этого решим квадратное уравнение

Корни этого уравнения будут:

Введем пока лишь для краткости обозначение

смысл которого вскоре станет ясен. Тогда дифференциальное уравнение (50) можно переписать в следующем, более компактном виде:

Предположим, что 1 или, согласно принятому обозначению,

иными словами, предположим, что вначале, при поток был сверхзвуковым. Тогда, как это видно непосредственно из уравнения при изменении и в интервале и аргумент х будет изменяться в интервале — Рассматриваемые дифференциальные уравнения (49) имеют, следовательно, и не тривиальное решение, соответствующее убыванию безразмерной скорости и от значения на бесконечности вверх по течению с числом большим единицы (движение сверхзвуковое) до некоторого значения на бесконечности вниз по течению. Легко показать, что при и ноток будет дозвуковым Для атого используем полученный в числе первых интегралов интеграл энергии

из которого по предыдущему сразу следует:

или

В последней формуле нетрудно узнать выведенное еще в § 32 гл. IV соотношение между числами до и после прямого скачка уплотнения [формула (77) § 32]. Отсюда сразу "следует, что

Итак, рассматриваемое тривиальное решение системы (49) представляет не что иное как переход от сверхзвукового движения к дозвуковому в прямолинейном одномерном потоке вязкого сжимаемого газа. Нетрудно убедиться в том, что не только числа но и температуры, плотности и давления на бесконечности вверх вниз по течению связаны между собою теми же соотношениями, что в теории прямого скачка уплотнения, изложенной в гл. IV для газа без внутреннего трения. Разница здесь в том, что в идеальном газе скачок уплотнения представлял некоторую нормальную к линиям тока поверхность разрыва элементов движущегося газа, причем само явление скачка приходилось рассматривать как предельное образование,

не допускающее описания при помощи непрерывных решений уравнений движения. В вязком газе, наоборот, явление перехода сверхзвукового потока в дозвуковой описывается непрерывным решением уравнений движения, а именно интегралом дифференциального уравнения в области движения Покажем, что, практически, эта область перехода сверхзвукового потока в дозвуковой имеет очень малую протяженность, зависящую от параметров потока и, в первую очередь, от Вернемся к уравнению пользуясь имеющимся произволом в выборе начала отсчета абсцисс х, поместим начало координат в ту точку, где скорость и равна критической скорости а, соответствующей параметрам потока вверх по течению. Тогда, вводя еще для краткости дополнительное обозначение

будем иметь:

Интегрируя от этих значений получим:

Выполнение квадратуры справа зависит от числового значения величины

Рис. 162.

Общий характер кривой скорости и показан на рис. 162. Левая и правая ветви кривой настолько быстро асимптотически стремятся к значениям что на самом деле фактическая ширина области, где происходит переход, очень мала. Примем за меру толщины левого переходного участка среднюю интегральную величину

равную отношению заштрихованной на рис. 162 левой части площади к максимальной разности ординат на этом участке. Аналогично определим толщину правого переходного участка как

Полная "толщина" области перехода сверхзвукового течения в дозвуковое будет равна:

Фактическое выполнение квадратур зависит от значения показателя степени и в законе связи между коэффициентом вязкости и температуры или теплосодержания.

На рис. 163 приведены составленные А. Е. Головиной кривые изменения толщины скачка выраженной в частях длины свободного пробега молекулы

( — скорость звука, вязкость, плотность на бесконечности вверх по течению), в функции от числа при различных На основании приведенных графиков можно заключить, что толщина скачка уплотнения имеет порядок длины свободного пробега, исключая значения близкие к единице, или очень большие (при ). Экспериментальная проверка этого факта очень затруднительна, так как границы скачка в силу его колебательных перемещений бывают обычно размыты и не поддаются фотографированию даже при очень малых временах экспозиции.

Рис. 163.

С точки зрения изложенной только что теории становится ясной причина указанного еще в гл. IV возрастания в скачке уплотнения энтропии. Прирост энтропии служит указанием на наличие в области перехода сверхзвукового потока в дозвуковой потерь механической энергии, превращающейся за счет внутреннего трения в тепло. Общая формула диссипируемой в тепло энергии при движении вязкого сжимаемого газа будет выведена в следующем параграфе.

Тот факт, что "толщина" скачка уплотнения имеет порядок длины свободного пробега молекулы, может вызвать сомнение в возможности вообще пользоваться в этом случае обычными уравнениями движения вязкого сжимаемого газа.

Частные случаи рассмотренной задачи были исследованы Гамелем и Прандтлем а затем Релеем и Беккером коэффициент вязкости не зависит от температуры).