§ 76. Обобщение закона Ньютона на случай произвольного движения среды. Закон линейной связи между тензорами напряжений и скоростей деформации

Возвращаясь к формуле (1), можем ее трактовать как закон пропорциональности одной из касательных компонент тензора напряжения, соответствующей рассматриваемому частному случаю плоского прямолинейного движения, компоненте тензора скоростей деформаций:

Обобщая закон Ньютона (1) на случай произвольного движения жидкости или газа, будем предполагать, что тензор напряжений в движущейся жидкой или газообразной среде представляет линейную функцию тензора скоростей деформаций. Эту, хорошо оправдываемую на опыте для большинства употребительных жидкостей и газов гипотезу можно было бы назвать обобщенным законом Ньютона. Численное выражение искомой линейной связи можно легко написать, если дополнительно предположить движущуюся среду "изотропной", т. е. такой, что физические ее свойства не зависят от каких-либо особых, заданных наперед направлений в пространстве. При этом коэффициенты линейной связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций должны быть скалярами и искомая связь сводится к формуле

где скаляры, а тензорная единица, т. е. тензор с компонентами:

сохраняющий свойство сферической симметрии в любой ортогональной системе координат и соответствующий принятой изотропии среды. По условию линейности связи скаляр а не может зависеть от компонент тензоров и 5 и поэтому является физической константой среды, не зависящей от формы ее движения; имея в виду, что формула (7) является обобщением закономерности (1), примем для коэффициента а обозначение:

Скаляр может быть связан линейным образом с компонентами тензоров и 5 только через скалярные линейные комбинации этих компонент.

Как уже упоминалось в гл. всякая физическая скалярная величина должна быть инвариантна по отношению к любому повороту осей координат. Таким образом, в выражение скаляра могут входить лишь такие линейные комбинации компонент тензоров напряжений и скоростей деформации, которые инвариантны по отношению к повороту осей координат. Единственной такого рода линейной комбинацией для тензора 2-го ранга является его линейный инвариант, равный сумме компонент, расположенных по главной диагонали, в чем легко убедиться, составляя указанную сумму в двух произвольно повернутых друг но отношению к другу системах координат и используя связь между компонентами тензора в этих системах координат.

Линейным инвариантом тензора напряжений будет сумма трех нормальных напряжений, приложенных к трем взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке потока, величина

Линейным инвариантом тензора скоростей деформации будет служить сумма

равная, очевидно, дивергенции скорости

Принимая, как наиболее общую, связь между величиной и этими инвариантами в форме

где некоторые константы, получим

Взяв сумму трех диагональных компонент левой и правой частей равенства (7), будем иметь:

или, совершив приведение подобных членов:

Предположим теперь, что рассматриваемая среда находится в покое. тогда а сумма нормальных напряжений, как было доказано в гидростатике (гл. II, § 17), станет равной

где гидростатическое давление, и равенство (8) приведется к виду:

Из этого равенства в силу произвольности величины гидростатического давления сразу вытекает:

После этого из равенства (8), верного при любом следует, что

Окончательно общая форма линейной связи (7) между тензорами напряжений и скоростей деформаций будет иметь вид:

Сделаем наиболее простое дополнительное допущение, что среднее арифметическое трех нормальных напряжений представляет давление в данной точке. Смысл этого допущения заключается в возможности рассмотрения величины как функции плотности и температуры, определенной, в случае совершенного газа, по формуле Клапейрона. Такое предположение является новым Допущением или дополнительной гипотезой к обобщенному закону

Ньютона. Приняв эту гипотезу, сохраним для давления в вязком газе прежнее обозначение, положив

Формула связи (9) примет после этого вид:

В качестве другого, более общего допущения можно принять, что среднее арифметическое трех нормальных напряжений отличается от только что определенного давления в данной точке на величину, пропорциональную скорости объемного расширения При этом вместо равенства (10) будем иметь

где новый коэффициент вязкости, называемый вторым коэффициентом вязкости, а соответствующее ему явление — второй вязкостью. Сделанное допущение преобразует формулу связи (9) к виду:

Вторая вязкость приобретает особо важное значение при изучении медленно развивающихся процессов, время релаксации которых велико, например, при образовании в движущемся газе химических реакций, скорость которых мала. Как показывает теоретическое исследование, коэффициент второй вязкости равен нулю, если газ одноатомен.

Во всем дальнейшем изложении удовольствуемся предположением, что вторая вязкость отсутствует

Связь между компонентами тензора напряжения и тензора скоростей деформации, согласно формуле (11), имеет вид:

Формулы упрощаются в частном случае движения несжимаемой жидкости, когда

в этом случае имеем:

При квазитвердом движении, лишенном деформаций:

скорости сдвига (сношений углов), стоящие в первой строке системы (13), и скорости относительных удлинений, входящие слагаемыми во второй строке, обращаются в нуль, и напряжения сводятся к давлению — так же, как в идеальной жидкости.

В плоском прямолинейном движении, рассмотренном в начале настоящей главы, будем иметь:

т. е. формулу (1).