ГЛАВА I. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ. КИНЕМАТИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

§ 6. Поле физической величины. Скалярное и векторное поля. Поверхности уровня. Векторные линин и трубки

Совокупность скалярных или векторных величин, заданных в некоторой конечной или бесконечной области так, что каждой точке области соответствует одно определенное значение скаляра или вектора, образует поле скалярной или векторной величины, короче — скалярное или векторное поле. Таковы скалярные поля: температурное поле нагретого тела, поле плотности в неоднородном твердом теле, и векторные поля: силоное поле, например, поле тяготения, поле скоростей во вращающемся твердом теле и др.

Поле называется стационарным, если распределение физических величин в пространстве не изменяется с течением времени. Так, например, поле скоростей в равномерно вращающемся вокруг неподвижной оси твердом теле будет стационарным; в противном случае поле называется не стационарным.

Если во всех точках пространства, где задано поле физической величины, значения этой величины равны между собою (соответственно в скалярном или векторном смысле), то такое поле называется однородным, в противном случае — не однородным. Скалярное поле плотности в однородном твердом теле однородно. В поступательно движущемся твердом теле векторное поле перемещений так же, как и скоростей или ускорений, - однородно. Само собой разумеется, что однородное поле может быть как стационарным, так и не стационарным.

Аналитически поле некоторой скалярной величины о или векторной а задается соответственно скалярной или векторной функцией

от каких-нибудь, в частности декартовых, координат и времени:

Условившись в этих простейших определениях, посмотрим теперь, каким образом характеризовать пространственную изменчивость величин поля (изменение со временем величины в данной точке пространства характеризуется, очевидно, частной производной от этой величины по времени). Для этого следует упорядочить рассмотрение бесконечного многообразия величин, образующих поле, расположив эти величины сообразно некоторому признаку: численной их величине — для скалярной функции, направлению — для векторной функции.

Рассматривая скалярное поле, расслоим часть пространства, в котором задано поле, поверхностями уровня, т. е. такими поверхностями, вдоль каждой из которых скалярная величина сохраняет одинаковое значение. Таковы, например, изотермы, изобары и др.

Уравнение семейства поверхностей уровня скалярной функции в данный момент времени, если поле не стационарно, и в любой момент, если поле стационарно, будет

где величина С принимает некоторый непрерывный ряд значений. Если задано значение величины в некоторой точке и в данный момент времени то уравнение поверхности уровня, проходящей через точку в момент будет, очевидно,

Смысл рассмотрения поверхностей уровня заключается в приведении вопроса об изменяемости скалярной величины в пространстве к более простому — изменению ее при переходе с одной поверхности уровня на другую.

Возьмем какую-нибудь одиу поверхность уровня, например (3). Эта поверхность делит все пространство на две области: внешнюю, где

и внутреннюю, где

Термины эти, конечно, условны, так как, например, если поверхность уровня представляет сферу радиуса а с центром в начале координат, то при выборе функции

внешняя область но только что введенному определению совпадает с внешней областью в обычном геометрическом смысле, если же положить

то предыдущее определение с геометрическим не совпадет.

Условимся положительное направление нормали, проведенной через некоторую точку данной поверхности уровня, выбирать в Сторону внешней области и называть такую ось внешней нормалью, противоположно направленную ось — внутренней нормалью.

Рис. 1.

Проведем (рис. 1) две смежные поверхности уровня и через точку одной из них — внешнюю нормаль с единичным вектором-ортом и какую-нибудь наклонную ось с ортом 1; отрезки и обозначим через Напомним, что производной от скалярной функции у по какому-нибудь направлению 1 называют предел отношения

Замечая что, по определению поверхности уровня, и что, кроме того,

будем иметь

Отсюда сразу следует, что, в силу положительности (вспомнить определение внешней нормали):

направление внешней нормали к поверхности уровня представляет направление наибольшего изменения скалярной функции сравнению с любым другим направлением.

Рассмотрим (рис. 1) несколько смежных поверхностей уровня: Проведем через точку внешнюю

нормаль через точку пересечения ее со смежной поверхностью уровня — нормаль через точку пересечения этой нормали со следующей поверхностью уровня — нормаль В пределе получим кривую нормальную ко всем поверхностям уровня в точках их пересечения с нею. Зная закон изменения скалярной величины вдоль такого рода линии, тем самым по формуле (5) определим и общую картину изменения рассматриваемой величины в пространстве. В существовании этих линий максимального изменения заданной скалярной величины наряду с нормальными к ним поверхностями уровня, вдоль которых рассматриваемая величина сохраняет постоянное значение, и заключается смысл того упорядочения картины изменяемости скалярной величины в пространстве, о котором ранее упоминалось.

Перейдем теперь к рассмотрению с той же точки зрения векторного поля. В этом случае задача осложняется наличием изменяемости векторов поля как по величине, так и по направлению.

Чтобы лучше разобраться в многообразии векторов, заданных в точках пространства, поступим так. В данный момент времени, если поле не стационарно, или в любой, если поле стационарно, проведем через выбранную точку (рис. 2) соответствующий ей вектор поля а, отложим вдоль положительного направления этого вектора малый отрезок затем в тот же момент времени, если поле не стационарно, проведем через точку соответствующий ей вектор а, точно так же отметим вектор в точке расположенной на направлении вектора , и т. д. Если взять точки достаточно близкими друг к другу, то указанным путем можно прочертить в пространстве линию, обладающую тем свойством, что в каждой ее точке вектор поля направлен по касательной к ней. Такая линия называется векторной линией поля (вспомнить например, силовые линии электрического или магнитного поля, вдоль которых направлен вектор напряжения поля).

Рис. 2.

Через каждую точку поля можно провести, вообще говоря, лишь одну векторную линию; исключением являются так называемые особые

точки поля, через которые могут проходить несколько и даже бесчисленное множество векторных линий. Так, например, из "точечного заряда", образующего электростатическое поле, выходит бесчисленное множество силовых линий поля.

Легко написать дифференциальные уравнения векторных линий ноля вектора Обозначим через направленный по касательной элемент векторной линии и запишем в векторной форме только что указанное свойство совпадения по направлению вектора поля с касательной к векторной линии в данной точке:

Здесь и далее символ обозначает векторное умножение, точка обозначает скалярное умножение.

В декартовой системе координат векторное равенство (6) эквивалентно системе дифференциальных уравнений, определяющих семейство векторных линий:

при решении этой системы двух уравнений первого порядка время следует рассматривать как заданный фиксированный параметр. Проинтегрировав систему (7), получим конечное уравнение семейства векторных линий с двумя произвольными постоянными, которые можно найти из условия прохождения векторной линии через заданную точку пространства.

Проведем в данный момент в части пространства, где задано векторное поле, какой-нибудь замкнутый контур С (рис. 3) и через все точки этого контура — векторные линии; часть пространства, ограниченная поверхностью о, образованной векторными линиями, называется векторной трубкой.

Выделение в векторном поле векторных линий и, особенно, векторных трубок значительно упорядочивает и облегчает, как мы далее увидим, представления о характере изменчивости векторов, образующих данное поле.

Рис. 3.