§ 45. Выражение главного момента сил давления потока через коэффициенты конформного отображения. Фокус крыла. Независимость от угла атаки момента относительно фокуса. Парабола устойчивости

Формулы Жуковского и Чаплыгина позволяют сделать некоторые общие выводы, относящиеся к задаче об обтекании плоскопараллельным потоком крылового профиля произвольной формы. Особенности формы крылового профиля можно охарактеризовать коэффициентами разложения функции преобразующей (рис. 87) контур профиля С в круг С [§ 42, формула (74)], в ряд по отрицательным степеням комплексной переменной С во вспомогательной плоскости. Как сейчас будет показано, здесь вновь обнаруживается замечательный факт зависимости силы и момента лишь от первых трех коэффициентов разложения, аналогичный тому, как это имело место при использовании разложения комплексной скорости.

Разложим голоморфную в области вне круга С отображающую Функцию в ряд Лорана

где - некоторые комплексные коэффициенты. Тогда сопряженной скорости V будем иметь выражение:

Недостающее для вычисления момента значение коэффициента можно найти контурным интегрированием в плоскости С:

Раскрывая в иодинтегральном выражении скобки и сохраняя лишь член с так как остальные слагаемые после интегрирования обратятся в нуль, получим:

после чего выражение момента (92) примет вид:

или, замечая еще, что действительны,

Подставим сюда выражение (80) циркуляции соответствующее безотрывному обтеканию задней кромки, тогда выражение момента приведется к виду:

или, производя замену:

и собирая вместе члены, содержащие

Таково общее выражение главного момента сил относительно произвольно выбранного начала координат. Возьмем за центр моментов другую какую-нибудь точку О плоскости с комплексной координатой и посмотрим, как будут связаны между собою величины По известной формуле статики будем иметь:

или. используя комплексные величины:

Подставляя сюда выражения по (95) и но (93), получим, пролзнодя простые преобразования:

Выберем за центр моментов такую точку О, чтобы выполнялось равенство

или

тогда момент относительно этой точки будет равен

т. е. окажется независимым от угла набегания потока а следовательно, и от угла атаки у.

Связанная с крыловым профилем и характерная для него точка О, обладающая тем свойством, что вычисленный относительно нее главный момент сил давления потока не зависит от угла атаки, называется фокусом крылового профиля; координаты фокуса определяются комплексным равенством (97).

Повернем ось так, чтобы ее направление совпало с направлением бесциркуляционного обтекания или, что все равно, с направлением нулевой подъемной силы-, тогда угол нулевой подъемной силы обратится в нуль, угол набегания потока станет равным углу атаки 7. и выражение момента относительно фокуса станет равным

а выражение подъемной силы (93) приведется к виду

Найдем уравнение линии действия равнодействующей сил давления; для этого, поместив начало координат в фокус О, напишем очевидное соотношение:

где х, у — координаты текущей точки на линии действия равнодействующей, имеют значения:

Уравнение линии действия равнодействующей будет иметь вид:

При выборе начала координат в фокусе О и направления оси по бесциркуляционному направлению, будем, согласно (97), иметь:

так что уравнение линии действия перепишется окончательно так:

Найдем огибающую линий действия равнодействующей. Для этого но общему правилу исключим а из совокупности предыдущего равенства и полученного из него дифференцированием по а равенства

Будем иметь систему равенств:

откуда следует

или

Огибающая линий действия равнодействующей, соответствующих разным углам атаки, представляет параболу, названную С. А. Чаплыгиным параболой устойчивости или параболой метацентров.

Расположение параболы устойчивости относительно профиля показано на рис. 93. Фокус крыла служит фокусом параболы, директрисса ее проходит параллельно оси на расстоянии

На директриссе находится точка с комплексной координатой эта характерная точка профиля, называемая конформным центром, имеет наравне с фокусом важное значение в теории крыла, особенно в теории нестационарного движения.

Для построения линии действия равнодействующей нет необходимости строить параболу устойчивости. Известно, что всякую параболу можно построить как огибающую перпендикуляров, восстановленных к лучам, проведенным из фокуса, в точках их пересечения с директриссой.

Рис. 93.

Поэтому, если известно положение фокуса и конформного центра, то построение линии действия равнодействующей производится без труда. Проведем через конформный центр прямую, параллельную бесциркуляционному направлению, — это будет директрисса параболы устойчивости; затем из фокуса проводим луч, параллельный направлению набегания потока до пересечения с директриссой, и, наконец, перпендикуляр к лучу в точке его пересечения с директриссой. Этот перпендикуляр и представит линию действия равнодействующей сил давления потока на крыло.

Таким образом, полная сила давления потока может быть сведена к одной силе, равной по величине и направлению подъемной силе. Эту силу можно переносить вдоль линии действия в любую точку крыла, например в точку пересечения линии действия равнодействующей с линией хорды, называемую центром давления. Центр давления крыла при изменении угла атаки перемещается вдоль хорды. Крыловые профили, у которых положение центра давления не зависит изменения угла - так называемые профили с постоянным центром давления — представляют ряд конструктивных преимуществ. Примерами могут служить рассмотренная ранее пластинка или близкие

к ней симметричные профили, постоянный центр давления у которых лежит примерно на четверти расстояния от передней кромки. В этом случае фокус совпадает с центром давления, а парабола превращается в точку. Вообще, если момент сил относительно фокуса равен пулю, то фокус совпадает с постоянным центром давления.