§ 40. Применение криволинейных координат. Бесциркуляционное и циркуляционное обтекания эллиптического цилиндра и пластинки. Задача Жуковского об обтекании решетки пластин.

В некоторых, более сложных, чем рассмотренные в предыдущих параграфах, случаях задача об определении комплексного потенциала облегчается, если потенциал искать не в физической плоскости а в плоскости другого вспомогательного переменного — связанного с z некоторой аналитической зависимостью

Геометрически это можно трактовать как решение задачи обтекания в криволинейной системе координат т. е. разыскание комплексного потенциала в виде

Совокупность уравнений (51) и (52) определяет искомую связь между в параметрическом виде, причем роль параметра играет комплексная переменная С. Поясним это примером.

Уравнение (с — действительная постоянная)

дает переход от декартовых координат х, у к эллиптическим координатам В самом деле, отделяя в равенстве (51) действительную и мнимую части, будем иметь:

Полагая здесь получим семейство эллипсов (рис. 69)

с полуосями а и фокусным расстоянием полагая получим семейство

софокусных с предыдущими эллипсами гипербол, имеющих полуоси с Рассмотрим теперь комплексный потенциал

где действительная и комплексная постоянные.

Рис. 69.

Переписывая этот комплексный потенциал в форме

сразу видим, что

т. е. нулевая линия тока состоит из эллипса и гиперболы (на рис. 69 показанных жирной линией). Чтобы найти значение постоянной А, составим выражение сопряженной скорости

и вычислим ее на бесконечном удалении от эллипса Будем иметь угол между вектором и осью

откуда получаем

Из последнего равенства вытекает:

причем постоянная а может быть, по предыдущему, выражена через полуоси обтекаемого эллипса по одной из следующих формул:

так что

Итак, совокупность равенств

где, напоминаем,

дает параметрическое выражение комплексного потенциала обтекания эллиптического цилиндра с полуосями плоским безвихревым потоком несжимаемой жидкости, имеющим скорость на бесконечности, равную по величине и направленную под углом к большой оси эллипса; угол принято называть углом атаки.

Рис. 70.

Картина линий тока показана на рис. 70.

Для построения линий тока и изопотенциальных линий можно использовать функцию тока и потенциал скоростей, которые получатся исключением из системы уравнений:

Можно также исключить С непосредственно из уравнений (53). Для этого перепишем первое из уравнений (53) в виде

а из второго найдем

тогда будем иметь

или, заменяя:

получим еще такое выражение для

Из последнего выражения легко вновь получить комплексный потенциал обтекания круга Для этого достаточно заметить, что в случае круга и что, кроме того,

тогда (55) даст

Если положить в , то получим потенциал обтекания пластинки (рис. 71), расположенной по отношению к набегающему потоку под углом атаки

где - проекции на оси координат,

По составу выражения комплексного потенциала (55) можно заключить, что косое обтекание пластинки складывается из двух течений: 1) вдоль пластинки, по направлению действительной оси со скоростью комплексный потенциал этого обтекания равен

и 2) перпендикулярно к пластинке со скоростью направленной вдоль мнимой оси; комплексный потенциал этого движения равен

в чем можно было бы убедиться и непосредственно, строя линии тока по этой простой формуле.

Определим сопряженную скорость рассматриваемого косо набегающего на пластинку потока; будем иметь

Приравняв правую часть нулю, найдем координаты критических точек А и В (рис. 71):

где, напоминаем, с — половина длины пластинки; при критические точки сходятся в начале координат.

Рис. 71.

При т. е. на передней и задней кромках пластинки, скорость, согласно (56), обращается в бесконечность, что видно и по сгущению линий тока на концах пластинки. На самом деле инертная жидкость не может безотрывно обтекать острые кромки пластинки, так как при образующихся бесконечно больших скоростях должны (согласно теореме Бернулли) появляться бесконечно большие разрежения, что физически невозможно. Как вскоре будет показано, в таких случаях можно теоретически получить обтекание с отрывом струй. При этом скорость на острых кромках станет конечной, но потенциал обтекания уже не будет непрерывным во всей физической плоскости.

Покажем, как построить обтекание пластинки с бесконечной скоростью лишь на одной, например, передней острой кромке и с конечной скоростью на задней кромке. Этот прием является общим приемом теории крыла и будет в дальнейшем подробно изложен (постулат Чаплыгина, § 42).

Рассмотрим комплексный потенциал чисто циркуляционного движения жидкости вокруг эллиптического цилиндра. Для этого напишем равенство

Подобно тому, как это делалось по отношению к равенству (51), легко заключить, что софокусные эллипсы будут линиями тока в некотором движении жидкости вокруг любого эллипса. Такое движение и будет чисто циркуляционным движением вокруг эллипса или, в частности, вокруг пластинки — отрезка, соединяющего фокусы семейства эллипсов (рис. 72). Зададим комплексный потенциал чисто циркуляционного движения вокруг эллипса функцией

где постоянная пока не определена.

Выражение это совпадает с выражением комплексного потенциала (42) единичного вихря, если фокусное расстояние устремить к нулю. Действительно, по известным формулам теории гиперболических функций от комплексного аргумента будем иметь:

или, используя свободу в выборе аддитивной постоянной в выражении комплексного потенциала,

Переходя в этом выражении к пределу при , получим, применяя обычное правило раскрытия неопределенностей:

т. е. равенство (42).

Чисто циркуляционный поток вокруг пластинки будет иметь тот же комплексный потенциал, что и эллиптический цилиндр, для которого пластинка служит фокусным расстоянием.

Сопряженная скорость будет равна

на поверхности пластинки сопряженная скорость действительна и равна:

на верхней поверхности и

на нижней.

Отвлечемся от того, что отрезок представляет некоторую твердую стенку — обтекаемую циркуляционным потоком пластинку — и представим себе всю плоскость занятой жидкостью. Тогда линия представит линию разрыва скоростей в потоке. В самом деле, по только что доказанному, при переходе через линию (рис. 72) по перпендикулярному к этой линии бесконечно малому отрезку концы которого расположены по обе стороны от линии скорость и претерпевает конечный скачок

Рис. 72.

Рис. 73.

В огличие от скачка уплотнения, где разрыв непрерывности происходил в скорости, нормальной к поверхности разрыва, в настоящем случае разрыв происходит в скорости, направленной вдоль линии разрыва. Рассмотрим ближе природу такого касательного скачка скорости.

Окружим некоторую точку (рис. 73) на линии разрыва бесконечно малым прямоугольным контуром, состоящим из отрезков параллельных линии и перпендикулярных к ней. Циркуляция скорости по этому замкнутому контуру

отлична от нуля; следовательно, на отрезке линии разрыва скоростей расположены вихри с общей интенсивностью, равной этой циркуляции.

Обозначим через плотность распределения вихрей, т. е. интенсивность непрерывного их распределения, приходящуюся на единицу длины отрезка

Тогда получим

и, следовательно,

Непрерывное распределение вихрей вдоль некоторой линии при плоском движении (в пространстве этому соответствует распределение прямолинейных вихревых нитей на цилиндрической поверхности) образует вихревой слой.

Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное движение (57) вокруг некоторого эллиптического цилиндра (в частности — пластинки) эквивалентно потоку, образованному вихревым слоем, расположенным вдоль линии, соединяющей фокусы эллипса, причем плотность распределения вихрей в слое определяется формулой (58).

Суммарная интенсивность вихревого слоя будет равна

что и определяет физический смысл константы в формуле (57). Таким образом, комплексный потенциал (57) является обобщением комплексного потенциала (42) плоского циркуляционного движения жидкости вокруг единичного вихря на случай прямолинейного вихревого слоя конечной длины, но той же суммарной интенсивности, что и единичный вихрь.

Подобно тому, как в предыдущем параграфе было найдено обтекание круглого цилиндра с циркуляцией, так же можно найти и обтекание эллиптического цилиндра с циркуляцией. Для этого достаточно сложить комплексные потенциалы бесциркуляционного обтекания эллиптического цилиндра и чисто циркуляционного его обтекания.

Так, например, в случае косого циркуляционного обтекания пластинки будем иметь комплексный потенциал

Составляя производную по найдем сопряженную скорость

Пользуясь произволом в выборе "наложенной" циркуляции можем подобрать ее так, чтобы скорость на задней (по направлению обтекания) кромке пластинки стала конечной. Для этого, очевидно, достаточно положить

где угол атаки. Соответствующая плавному обтеканию задней кромки сопряженная скорость будет по (60) и (61) равна:

При этом скорость на задней кромке пластины будет равна Осо. Картина циркуляционного обтекания пластинки с плавным сходом струй с задней кромки показана на рис. 74.

Сравнивая эту картину с соответствующим бесциркуляционным обтеканием пластинки на рис. 71, видим, что при выбранном значении циркуляции (61) задняя критическая точка В совместилась с задней кромкой пластинки; на передней кромке скорость остается равной бесконечности, что при действительном обтекании приведет к отрыву потока.

Рис. 74.

Как заметил впервые С. А. Чаплыгин, задние острые кромки крыловых профилей обтекаются, как правило, без отрыва, если только углы атаки не выходят за пределы некоторого интервала. Иными словами, при действительном обтекании профилей в потоке возникает как раз такая циркуляция, которая необходима для создания непрерывного обтекания задней кромки с конечной скоростью. Об этом подробнее будет сказано в § 42. Что касается наличия передней острой кромки, то оно нежелательно; обычно эту кромку закругляют, создавая плавный "носок" профиля.

Рассмотренная только что задача об обтекании пластинки может быть обобщена на случай системы бесконечного числа пластинок ширины расположенных вдоль оси х на равных друг от друга расстояниях .

Рис. 75.

Н. Е. Жуковский указывает следующие интегральные выражения для комплексных потенциалов:

а) обтекания решетки пластин потоком, направленным в бесконечности в положительную сторону мнимой оси (рис. 75):

б) чисто циркуляционного потока вокруг пластинок (рис. 76):

в) плоскопараллельного потока вдоль действительной оси:

сложение которых приводит к общему косому циркуляционному обтеканию указанной решетки пластин.

Применение символов неопределенных интегралов представляет то удобство, что позволяет сразу найти скорости потоков:

Перед корнями поставлены знаки чтобы напомнить известную особенность корня квадратного как функции комплексного переменного. Точки с координатами в которых подкоренные величины обращаются в нуль (а скорости в бесконечность), являются точками разветвления в плоскости комплексного аргумента.

Рис. 76.

Рис. 77.

При обходе этих точек по окружностям бесконечно малого радиуса (рис. 77) значения корня меняют свой знак, так что двум бесконечно близким точкам находящимся с сторон действительной оси на отрезке будут соответствовать одинаковые по абсолютной величине, но разные по знаку действительные значения корня. Отсюда следует, что на отрезке рассматриваемые корни являются двузначными функциями, а сам отрезок — линией разрыва функции. Чтобы избегнуть этой двузначности, можно представить отрезок как разрез в плоскости Тогда точки окажутся расположенными по стороны от разреза и непрерывный переход от одной к другой станет возможным лишь по кривым, обходящим точки разветвления (на рис. 77 доказанным пунктирами). Такое рассмотрение физической плоскости как

плоскости с бесконечной системой "разрезов" позволяет считать корень квадратный, входящий в выражение скоростей, однозначной функцией, но при этом сама плоскость становится многосвязной, вернее сказать, бесконечно связной. Исследуемое обтекание решетки пластин дает пример плоского безвихревого движения в многосвязной области.

Формулы (65) позволяют составить полное впечатление о картине обтекания рассматриваемой решетки пластин. Прежде всего заметим, что при замене z на где формулы (65) не изменяются. Это говорит о периодичности картины обтекания, причем периодом служит величина , называемая шагом решетки.

При тригонометрические функции перейдут в гиперболические от действительного аргумента, так что для точек оси будем иметь:

При согласно сделанному замечанию о знаках перед корнем:

при

При в точке О первый поток имеет скорость, равную нулю безотносительно к тому, с какой стороны разреза взята точка таким образом, точки будут служить критическими для первого потока. Критическими ючками второю потока будут точки, абсциссы которых являются корнями уравнении

т. е. точки и др.

На отрезке действительной оси как можно непосредственно заключить по формулам (65), в первом и втором потоках скорости будут направлены вдоль пластинки, но они будут иметь разное направление сверху и снизу пластинки (рис. 75 и 76). Между пластинками действительные части сопряженных скоростей (65) первого и второго потоков обращаются в нуль, скорости направлены перпендикулярно оси

Накладываярассмотренные потоки в друг на друга, можно получить различные обтекания решетки. Так, соединяя комплексные потенциалы (62) и (64) получим бесциркуляционный поток (рис. 78), аналогичный ранее рассмотренному обтеканию единичной пластинки (рис. 71). Складывая чисто цнркуляциониын поток (63) с параллельным оси потоком (64), можно получить поток, показанный на рис. 79.

(кликните для просмотра скана)

Если сложить все три потока, то можно так подобрать скорость чисто циркуляционного потока, чтобы на задней (по направлению течения) кромке пластинки скорость была конечной. Для этого, согласно (65), достаточно удовлетворить условию

при

выполнении этого равенства, при обтекание будет иметь вид, представленный на рис. 80. О силовом воздействии потока на пластинку в решетке, так же как и на изолированную пластинку, будет сказано далее в связи с применением теоремы Жуковского.