§ 49. Обобщение теоремы Жуковского на случай плоской решетки с бесчисленным множеством профилей

Под плоской решеткой профилей (рис. 99) обычно понимают совокупность одинаковых крыловых профилей, каждый из которых получается из смежного параллельным переносом на некоторую, называемую шагом, длину в заданном направлении, определяющем ось решетки. Угол между хордой профиля и перпендикуляром к оси решетки иногда называют углом выноса, дополнительный угол — углом установки профиля в решетке. Вектор равный по длине шагу и направленный перпендикулярно оси решетки в сторону течения, назовем вектором-шагом, такое векторное представление шага позволит нам

в дальнейшем получить формулы действующих сил, не зависящие от выбора направления осей координат.

В отличие от одиночного профиля, в бесконечном удалении впереди и тгозади решетки скорости в общем случае различны как по величине, так и по направлению. Решетка не только меняет скорость набегающего на нее потока, но и поворачивает поток в целом.

Обозначим (рис. 100) вектор скорости потока в бесконечности перед решеткой через V давление — через соответственно вектор скорости и давление в бесконечном удалении за решеткой — через и будем считать жидкость несжимаемой и плотность ее повсюду одинаковой.

Рассмотрим в плоскости чертежа трубку тока, образованную двумя какими-нибудь линиями тока, сдвинутыми друг по отношению к другу в направлении оси решетки на расстояние, равное шагу. Весь поток можно, очевидно, разбить на такие равные между собою трубки тока, так как обтекание обладает свойством пространственной периодичности с периодом, равным шагу.

Рис. 99.

Рис. 100.

Применим теорему количеств движения в форме Эйлера, взяв за контрольную поверхность только что выделенную трубку тока и два бесконечно удаленные сечения трубки и параллельные оси решетки и равные по длине шагу. Тогда, обозначая через главный вектор сил давления потока на профиль, будем иметь:

где - уже введенный ранее вектор-шаг, равный но длине и направленный по перпендикуляру к этим сечениям; величины

представляют равные между собою объемные расходы жидкости сквозь сечения трубки тока, главный вектор сил давления профиля на поток.

Предполагая поток безвихревым и применяя теорему Бернулли, получим

или, представляя разность квадратов скоростей как скалярное произведение суммы векторов скоростей на их разность,

Введем две характерные для обтекания решетки скорости: среднюю векторную скорость

и скорость девиации потока

характеризующую отклонение потока решеткой. Тогда будем иметь:

и равенство (118) перепишется в форме

представляющей известное разложение двойного векторного произведения

Вектор

равен по величине циркуляции скорости по замкнутому контуру, охватывающему один профиль. Действительно, оба нектора справа имеют одинаковые направления (перпендикулярно плоскости чертежа), так что

с другой стороны, вычисляя циркуляцию по замкнутому контуру вокруг профиля, например по обводу контрольной поверхности, в направлении, указанном на рис. 100 отдельными стрелками, заметим, что слагаемые циркуляции, рассчитанные по отрезкам линий тока, в силу периодичности движения взаимно сократятся, и циркуляция сведется к разности

Итак,

В силу взаимной перпендикулярности и найдем величину главного вектора в виде:

аналогичном формуле Жуковского (86) § 43. Вектор направлен перпендикулярно средней векторной скорости играющей при обтекании решетки профилей ту же роль, что скорость на бесконечности в случае одиночного профиля. Направление вектора можно определять как непосредственно построением произведения (119) по заданным направлениям так и путем использования поворота вектора на 90° в сторону, противоположную "положительному направлению циркуляции".

Введение средней векторной скорости представляет большое удобство для сравнения подъемных сил крыловых профилей: одиночных и в решетке. Сопоставляя обтекание профилей одной и той же жидкостью при равенстве скорости на бесконечности случае одиночного профиля и средней векторной скорости при обтекании профиля в решетке, будем иметь для отношения подъемных сил равенство:

Направление подъемных сил при также будет одинаковым.

Замечая, что, в силу равенства

вектор перпендикулярен к (вектор следовательно, имеет то же направление, что и ось решетки), а вектор перпендикулярен к плоскости течения, т. е. и к можем переписать равенство (120) в виде

Это скалярное равенство, так же как и векторное равенство (119), имеет то преимущество, что указывает в явной форме зависимость (прямую пропорциональность) главного вектора от плотности жидкости, шага решетки и двух характерных скоростей - средней векторной и скорости девиации потока решеткой.

Таким образом, теорема Жуковского обобщается на случай безвихревого обтекания плоской решетки профилей. Легко видеть, что при беспредельном увеличении шага обобщенная теорема Жуковского переходит в теорему для одиночного профиля. При циркуляция стремится к циркуляции вокруг одиночного профиля, следовательно, по (119):

так что

и мы вновь приходим к обычной формулировке георемы Жуковского о подъемной силе одиночного крылового профиля.

Изложенный вывод теоремы не был связан с выбором системы осей координат. Если задать систему координат, направив ось по вектору-шагу, а ось по оси решетки, то в обычных обозначениях будем иметь, согласно только что выведенным векторным формулам:

Постановка прямой задачи об обтекании решегки такова: задается вектор скорости перед решеткой V,, геометрические параметры решетки (шаг, угол выноса или установки), форма профиля и угол между осью решетки и направлением потока перед решеткой или какой-нибудь другой, связанный с ним угол. Следует определить направление и величину скорости на бесконечности за решеткой при условии выполнения постулата Жуковского — Чаплыгина о безотрывном обтекании задних острых кромок профилей, а также силовое действие потока на решетку.

В качестве иллюстрации применения выведенных общих формул рассмотрим обтекание пластин, расположенных вдоль оси (рис. 80). Согласно теории, изложенной в § 40, скорости на бесконечности до и за решеткой будут в ятом случае иметь проекции (выбранное в § 40 направление осей координат отличается от настоящего):

где

а проекции на оси координат (рис. 80) скоростей на бесконечности до и за решеткой при бесциркуляционном обтекании рассматриваемой Решетки.

Средняя векторная скорость будет иметь, очевидно, проекции:

равные проекциям скорости, соответствующей бесциркуляционному обтеканию решетки пластинок.

Замечая, что шаг в данном случае равен будем иметь по последней из формул (121):

где длина пластинки. Вспоминая формулу (61) § 40, найдем по (120) отношение подъемных сил пластинки в рассматриваемой решетке и одиночной пластинки:

Как видно из полученной формулы, коэффициент пересчета подъемной силы с одиночной пластинки на соответствующее обтекание пластинки в решетке представляет функцию относительного шага В случае решетки пластинок, ориентированных перпендикулярно оси решетки соответствующая формула пересчета имела бы вид

Рис. 101.

На рис. 101 приведены графики зависимости коэффициента от относительного шага решетки пластинок при различных углах установки (рис. 99) пластинок в решетке. Соотношениям (122) и (123) на графике соответствуют крайняя верхняя и крайняя нижняя кривые. Интересно отметить, что при углах меньших 50°, и при любых относительных шагах коэффициент меньше единицы, т. е. подъемная сила пластинки в решетке меньше, чем у одиночной пластинки. Наоборот, при углах установки, приближающихся к и не очень малых относительных шагах коэффициент становится значительно превосходящим единицу. При больших относительных шагах . коэффициент естественно, независимо от угла установки стремится к единице. Разыскание комплексного потенциала обтекания решетки профилей представляет задачу, значительно более трудную, чем соответствующий вопрос теории обтекания одиночного профиля; объем настоящего курса не позволяет становиться на изложении даже простейшей задачи об обтекании решетки ставленной из пластин. Отсылаем интересующихся к недавно вышедшей

в свет монографии Н. Е. Кочина. В этой краткой, но весьма содержательной монографии излагается теория обтекания плоских решеток, составленных как из пластин и тонких дужек, так и из теоретических профилей конечной толщины. В настоящее время созданы различные методы расчета обтекания решеток, составленных из профилей произвольной формы, однако эти методы еще только начинают получать практическое применение. Точно так же, как и в случае одиночного профиля, большие услуги в деле определения потенциала обтекания и распределения скоростей и давлений по поверхности профиля в решетке оказывает метод электро-гидродинамических аналогий (ЭГДА).