§ 71. Коэффициенты «присоединенных масс». Свойство симметрии. «Присоединенная» кинетическая энергия. Определение «присоединенных масс» поступательно движущегося цилиндра, шара и эллипсоида

Изменим обозначение проекций векторов скорости полюса тела и угловой скорости вращения тела на связанные с телом оси координат, пронумеровав их по порядку так:

Аналогично положим:

В новых обозначениях выражение потенциала скоростей (79) будет:

Воспользуемся теперь выполняющейся в любой момент времени на поверхности тела о системой равенств (80), тогда в новых обозначениях нместо (86) и (87) будем иметь:

где введено обозначение:

Величины вычисленные в связанной с твердым телом координатной системе, представляют некоторые постоянные, зависящие лишь от формы поверхности тела, так как по ранее доказанному времени не зависят.

Являясь коэффициентами в выражении "присоединенных" количества и момента количеств движения через обобщенные скорости величины . играют роль инерционных коэффициентов, "присоединяющихся" к инерционным коэффициентам, входящим в аналогичные выражения количества движения и момента количества движения самого твердого тела.

Так, например, проекция количества движения твердого массу которого обозначим через на ось будет равна:

где координаты центра тяжести тела; отсюда в новых Обозначениях следует:

Проекция на ось суммы количества движения К и "присоединенного" количества движения будет равна:

Как видно из структуры этого выражения, инерционные коэффициенты "присоединяются" к инерционным коэффициентам в выражении проекции количества движения твердого тела: к массе, к статическим моментам масс; остальные коэффициенты в общем случае дополняют члены, отсутствующие в выражении проекции главного вектора количества движения твердого тела. Вот почему инерционные коэффициенты обычно называют коэффициентами присоединенных масс.

Тридцать шесть коэффициентов "присоединенных масс"

обладают свойством симметрии, т. е. не зависят от порядка индексов. Чтобы это доказать, составим применительно к рассматриваемому объему следующее известное соотношение:

и вычтем из него аналогичное соотношение с измененным порядком индексов; тогда получим общую формулу:

Замечая, что в силу гармоничности функций и интеграл слева обращается в нуль, и применяя в правой части формулу Остроградского, приходим к равенству:

Примем во внимание, как и раньше, что интеграл справа, при удалении поверхности сферы на бесконечность, стремится к нулю

имеет порядок порядок ; тогда будем иметь:

или, по определению коэффициентов "присоединенных масс",

что и доказывает свойство симметрии этих величин. Таким образом, из тридцати шести коэффициентов, имеющих место в общем случае движения твердого тела, различных оказывается лишь двадцать один. Присоединенные массы X входят коэффициентами в выражение квадратичной зависимости кинетической энергии возмущенного движения жидкости от скоростей движения твердого тела.

Подсчитывая кинетическую энергию жидкости как объемный интеграл:

и вновь замечая, что при удалении поверхности на бесконечность второй интеграл обратится в нуль, получим аналог известной уже нам по § 36 гл. V формулы (21) на случай внешнего обтекания тела:

Подставим сюда разложение потенциала скоростей по потенциалам составных движений тогда, перемножая суммы, найдем искомое выражение кинетической энергии возмущенного движения жидкости через скорости тела и "присоединенные массы":

Сравнивая это выражение с (90), получим связь между "присоединенной" кинетической энергией возмущенного движения и "присоединенным" количеством движения:

Если написать в развернутом виде выражение кинетической энергии самого движущегося твердого тела:

то легко убедиться, что при "присоединении" кинетической энергии возмущенной телом жидкости к энергии самого движущегося тела коэффициенты так же, как и в случае векторов количеств и моментов количеств движения, "присоединятся" к соответствующим инерционным коэффициентам в выражении Т: массе, статическим моментам, моментам инерции и центробежным моментам. Это еще раз поясняет смысл коэффициентов и происхождение их названия "присоединенных масс". Конечно, термин "масса" здесь следует понимать в обобщенном смысле как величину, характеризующую инерционность вообще.

Поясним изложенное несколькими примерами. Пусть круглый цилиндр радиуса а, окруженный идеальной несжимаемой жидкостью плотности о, совершает поступательное движение вдоль оси перпендикулярной оси цилиндра, со скоростью являющейся заданной функцией времени В этом случае [вспомнить формулу (44) § 39 гл. V и выделить из нее потенциал возмущенного движения]:

и коэффициент при будет играть роль "единичного потенциала" равного

Единственный коэффициент "присоединенной массы" будет равен по (91):

где масса жидкости в объеме цилиндра, приходящемся на единицу его длины.

Давление жидкости на цилиндр будет определяться по формуле:

В случае равномерного движения цилиндра эта сила пропадает, и имеет место парадокс Даламбера: при ускоренном движении цилиндра реакция жидкости существует, причем она тем больше, чем больше ускорение цилиндра.

Составляя дифференциальное уравнение движения цилиндра масса единицы длины цилиндра, внешняя сила, помимо реакции жидкости):

видим, что его можно еще переписать так:

Под действием приложенной силы цилиндр будет двигаться в жидкости так же, как в пустоте, если только массу его увеличить на "присоединенную массу" жидкости в объеме цилиндра.

Столь же просто решается задача о прямолинейном движении шара. В этом случае, сохраняя те же обозначения, что и для цилиндра, имеем по (43) § 64:

где масса жидкости в объеме шара.

Дифференциальное уравнение движения шара будет:

или

Сравнивая это уравнение с уравнением прямолинейного движения шара под действием той же силы в пустоте

приходим к заключению, что движение шара в жидкости можно рассматривать как происходящее в пустоте, если только к массе шара "присоединить" дополнительную массу, равную половине массы жидкости в объеме шара.

Если масса жидкости в объеме движущегося тела мала по сравнению с массой самого движущегося тела (например, снаряд или самолет в воздухе), то "присоединенной массой" можно пренебрегать. В других

случаях (дирижабль в воздухе, корабль или торпеда в воде и др.), наоборот, роль "присоединенных масс" оказывается первостепенной.

Имея в виду особенно большое прикладное значение понятия "присоединенной массы" для тел вращения (дирижабельные и торпедные формы), выведем общие формулы "присоединенных масс" для продольного относительно оси симметрии и поперечного по отношению к ней движения тела вращения.

В Случае продольного движения вдоль оси имеем;

или, в силу граничного условия (80) на поверхности тела и очевидного равенства

Используя (53), получим:

Согласно (55), для потенциала возмущенного движения с единичной скоростью будем иметь:

так что для присоединенной массы в продольном движении, или, короче, продольной присоединенной массы получим следующее общее выражение:

где подразумевается, что координата X есть заданная функция согласно уравнению обвода меридионального сечения тела.

В случае эллипсоида вращения с большей осью а, направленной вдоль оси имеющего уравнением обвода эксцентриситет), предыдущий интеграл легко вычисляется. По формулам § 66 получим:

где, напоминаем, большая и малая полуоси, эксцентриситет. Полагая в последней формуле и раскрывая неопределенность, получим

вновь присоединенную массу" шара

Аналогичным путем определим и присоединенную массу тела вращения при поперечном его поступательном движении вдоль оси или поперечную присоединенную массу.

Сохраняя обозначения § 67, найдем:

и в частном случае поперечного движения эллипсоида вращения.

при последняя формула также переходит в "присоединенную массу" шара.

Другие примеры вычисления "присоединенных масс" можно найти в специальных книгах по динамике корабля или дирижабля, а также в общих курсах и монографиях по гидродинамике.

Ограниченность объема настоящей книги не позволила остановиться на специальных вопросах теории плоского нестационарного движения крыла, созданной гением С. А. Чаплыгина и столь блестяще в дальнейшем развитой в работах М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева и Л. И. Седова, а также на вопросах динамики плоского и пространственного движения твердого тела в тяжелой идеальной несжимаемой жидкости при наличии свободной поверхности. Последняя область особенно обязана своим расцветом глубоким исследованиям Н. Е. Кочина, М. В. Келдыша и Л. И. Седова.