§ 56. Решетка профилей в плоском докритическом потоке сжимаемого газа. Обобщение теоремы Жуковского

В § 49 было выведено обобщение теоремы Жуковского о подъемной силе изолированного крылового профиля на случай профиля в решетке, обтекаемой несжимаемым газом. Попытаемся обобщить

последнюю теорему на случай решетки в докритическом потоке сжимаемого газа.

Рассмотрим (рис. 119) плоскую решетку в сжимаемом газе и условимся обозначать величины в бесконечном удалении перед решеткой индексом а за решеткой — индексом

Выберем в качестве контрольной поверхности (на рис. 119 показана пунктиром), так же как и в случае несжимаемой жидкости, две линии тока, смещенные друг по отношению к другу на шаг и два сечения трубки тока, ограниченной этими линиями тока.

Рис. 119.

Применяя теорему количеств движения в форме Эйлера (гл. к контуру контрольной поверхности, будем иметь выражение главного вектора сил давления потока на профиль в виде вектор-шаг):

причем, согласно закону сохранения массы,

гор на основании (69) принимает значение

где обозначает ранее введенный вектор девиации (отклонения) скорости потока решеткой

По теореме Бернулли для адиабатического и изэнтропического потоков имеем:

где I представляет скорость потока, отнесенную к критической скорости:

Производя разложение в ряд по степеням получим вместо предыдущего равенства

Составим еще среднюю арифметическую из плотностей до и за решеткой

которая после разложения в ряды примет вид:

Сравнивая последнее выражение с равенством (71), убеждаемся, что с точностью до величин имеет место приближенное равенство

или, вводя, как и ранее, среднюю векторную скорость

и скорость девиации потока решеткой (70), получим следующее приближеное выражение для разности давлений до и за решеткой

Обратимся к рассмотрению второго слагаемого в правой части равенства (68). Имеем по (69):

Легко видеть, что вычитаемое в квадратной скобке представляет величину порядка действительно, по предыдущему:

Итак, с ранее принятой степенью приближения

Подставляя полученные выражения в основное соотношение (68), окончательно получим следующее приближенное равенство:

представляющее искомое обобщение теоремы Жуковского на случай решетки, обтекаемой сжимаемым газом при не слишком близких к докритическим значениям чисел и вдалеке до и за решеткой. В ранее цитированной нашей работе приводится анализ порядка ошибки, возникающей при пользовании этой приближенной формулой. Относительная ошибка не превышает величины

Таким образом, приходим к следующему выводу: при докритических скоростях подъемная сила профиля в решетке, обтекаемой сжимаемым газом, может приближенно определяться по формуле Жуковского для несжимаемой жидкости, если плотность этой жидкости приравнять среднему арифметическому плотностей газа вдалеке перед и за решеткой.

Как показал Э. М. Берзон, аналогичное обобщение теоремы Жуковского будет иметь место с той же степенью приближения, если вместо среднего арифметического плотностей взять среднее арифметическое -о соответствующих удельных объемов газа до и за решеткой или, что все равно, среднее гармоническое плотностей

Заметим, прежде всего, что в этом случае равенство (73), в котором заменено на выполняется точно. Действительно, прибавляя

к обеим частям (69) по равному количеству будем иметь:

или, деля обе части на

отсюда сразу следует искомое точное равенство

Составляя разность

и вспоминая (74), видим, что с выбранной степенью точности совпадает с

Можно доказать, что теорема Жуковского для решетки в сжимаемом газе выполняется точно, если заменить адиабату (изэнтропу) на касательную прямую в точке а удельный объем принять равным среднему арифметическому удельных объемов газа до и за решеткой.

Для этого, подобно тому, это делалось в § 54, прежде всего перейдем от переменной X к переменной равной

тогда уравнения изэнтропического движения примут вид:

а замена изэнтропы касательной к ней будет эквивалентна использованию равенства в силу этого получим:

Отсюда будет следовать:

что при дает

Подставляя в равенство (68) полученное значение а также значение из (73), окончательно найдем:

Итак, главный вектор сил давления потока на профиль в решетке, обтекаемой сжимаемым газом, при докритических числах выражается той же формулой Жуковского, что и в случае обтекания несжимаемым газом; это оказывается верным постольку, поскольку изэнтропа заменена касательной к ней в некоторой промежуточной точке, а плотность газа положена всюду равной среднему гармоническому из плотностей газа вдалеке перед и за решеткой. При расчете решеток в дозвуковом потоке можно с достаточной степенью приближения использовать линейную изэнтропу, как это делалось в § 54; при этом естественно пользоваться и предлагаемым обобщением теоремы Жуковского. Относительная разница между средней арифметической средней гармонической из плотностей до и за решеткой не существенна, так как

например, для воздуха это отношение не превосходит 4% от налой величины —

Вопрос об учете влияния сжимаемости газа на распределение давления по поверхности профиля произвольной формы в решетке с данными параметрами еще не доведен до практического решения. Принципиальной особенностью задачи об обтекании решетки сжимаемым газом по сравнению с изолированным профилем служит наличие в решетке взаимного влияния профилей друг на друга. Как было показано в § 51 (рис. 103), при возрастании числа в дозвуковом потоке размеры области влияния обтекаемого профиля также возрастают. Поэтому, если попытаться в грубом приближении свести обтекание профиля сжимаемым газом к некоторому условному потоку несжимаемой жидкости (вспомнить § 52), то следует: 1) увеличить, как и в случае единичного профиля, в V раз ординаты заданного профиля в решетке и 2) уменьшить взаимное расстояние между профилями в то же число раз, т. е. уменьшить в раз относительный шаг. Таким образом, влияние

сжимаемости газа на обтекание профиля в решетке оказывается более значительным, чем в случае единичного профиля,

Аналогичное явление повышенного влияния сжимаемости имеет место и при продувке единичного крылового профиля в аэродинамической трубе с рабочим участком, ограниченным твердыми стенками. Влияние увеличения стеснения потока помещенным в него крылом на аэродинамические характеристики профиля быстро возрастает с увеличением числа набегающего потока.