§ 79. Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости по цилиндрической трубе

Одним из наиболее простых случаев движения вязкой несжимаемой жидкости является так называемое ламинарное (слоистое) движение по цилиндрической трубе произвольного сечения, при котором линии тока — прямые линии, параллельные оси трубы.

Как показывают опыты, такое движение осуществляется в цилиндрических трубах с различными формами сечений, если только число Рейнольдса не превосходит некоторого определенного "критического" своего значения, после чего движение перестает быть ламинарным, частицы жидкости приобретают сложные траектории, и приводимое в настоящем параграфе решение теряет свою силу. Практически излагаемые сейчас результаты имеют значение лишь при движениях с очень

малыми скоростями, или в тонких капиллярах, или, наконец, при движении очень вязких жидкостей. Подробнее об условиях существования ламинарного режима течения и явлений перехода его в более сложный, турбулентный режим будет сказано далее.

Рис. 156.

Направим (рис. 1561 ось по оси трубы и будем предполагать трубу бесконечно длинной, а поток — направленным вдоль оси трубы, так что из трех компонент скорости остается лишь одна а остальные две равны нулю. Отвлекаясь от температурных влияний, т. е. считая поток изотермическим, а следовательно, плотность и коэффициент вязкости — постоянными, будем иметь, согласно (14) и уравнению неразрывности, систему уравнений:

Из этой системы сразу следует, что представляет функцию только функцию только Иными словами, если провести нормальные к оси трубы сечения, то во всех таких сечениях распределения скоростей одинаковы, а поля давлений однородны; давление меняется только от сечения к сечению, сохраняя повсюду в данном сечении одинаковое значение.

Предыдущая система равенств сводится к одному:

Левая часть этого равенства представляет функцию только от х и у, правая — только от при независимости координат друг от друга это может быть лишь в случае постоянства левой и правой частей равенства.

Введем удобное для дальнейшего обозначение:

где падение давления на участке трубы длины

При равномерном движении вязкой жидкости по цилиндрической трубе перепад давления играет роль движущего перепада, уравновешиваемого силами сопротивлений трения, направленными против движения жидкости. Отсюда непосредственно вытекает, что давление в цилиндрической трубе должно падать вниз по течению, а следовательно, Для трубы переменного сечения, где движение может быть как ускоренным, так и замедленным, такое заключение наперед сделать нельзя.

В конкретных расчетах перепад давления на участке трубы длины I либо задается непосредственно, либо, как далее будет показано, может быть легко выражен через другие заданные величины: секундный расход жидкости сквозь трубу, среднюю по сечению или максимальную скорость.

Уравнение (22) сводится к линейному уравнению в частных производных второго порядка в плоскости

которое должно быгь решено при следующем граничном условии на контуре С нормального к оси сечения цилиндра:

Поставленная задача с математической стороны совершенно аналогична известной задаче теории упругости о кручении призматического стержня и легко решается для простейших контуров сечения трубы.

Если сечение трубы представляет эллипс с полуосями уравнение которого в плоскости будет

то решение уравнения (23) можно представить в форме:

причем постоянная А определяется из условия удовлетворения этого выражения уравнению (23):

и будет равна

Таким образом, получим эпюру скоростей в любом сечении эллиптической трубы:

Граничное условие (23) при этом, очевидно, удовлетворяется. Захметм, что изотахами служат подобные контуру С (не софокусные) эллипсы.

В случае круглой цилиндрической трубы радиуса а будем вместо (24) иметь, полагая

Как показывают формулы (24) и скорости по сечению эллиптической трубы распределяются по закону эллиптического параболоида, а по сечению круглой трубы — по параболоиду вращения. Последнее распределение иногда называют "параболой Пуазейля" по фахмилии французского ученого, известного своими исследованиями движения жидкости сквозь капиллярные трубки (1840 г.).

Из распределения скоростей (24) определим максимальную по сечению скорость на оси эллиптической трубы:

после чего распределение скоростей (24) перепишется к виде:

Аналогично для круглой трубы

причем

Определим теперь объемный расход сквозь сечения рассматриваемых труб и связь между расходом и перепадом давления на единицу длины трубы. Совсем просто вычисляется расход сквозь сечение круглой трубы.

Для этого достаточно проинтегрировать элементарные расходы по кольцевым участкам, написав

и получить

Это приводит к известному закону Пуазейля: при ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь круглую цилиндрическую трубу секундный объемный расход пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени ее радиуса и обратно пропорционален коэффициенту вязкости.

Зная расход и площадь сечения трубы найдем среднюю скорость:

сравнив с (26), получим важное соотношение между средней по сечению и максимальной на оси скоростями:

Определение расхода сквозь эллиптическую трубу сведем к определению расхода сквозь круглую трубу, если в интегральном выражении расхода

положим:

тогда интеграл по площади эллипса сведется к интегралу по площади о единичного круга и легко вычислится:

Будем иметь по (25):

Средняя скорость согласно (28), окажется равной:

Таким образом, как в случае круглой, так и в случае эллиптической трубы средняя скорость равна половине максимальной.

Из выведенных формул заключаем, что по заданным геометрическим параметрам трубы, коэффициенту вязкости и одной из характерных для потока в трубе величин: расхода, средней или максимальной скорости, можем определить потребный для создания движения перепад давления на некотором участке длины Этот перепад давления уравновешивает сопротивление движению жидкости, создаваемое силами вязкости на стенках трубы, благодаря чему и получается равномерное и прямолинейное движение жидких частиц. Величину перепада давления можно рассматривать как количественное выражение сопротивления участка трубы длины 1.

Общеприняты следующие два выражения величины сопротивления круглой трубы через скоростной напор, составленный по средней или максимальной скорости:

где диаметр трубы, а так называемые "коэффициенты сопротивления". Чтобы определить коэффициенты сопротивления А или в рассматриваемом конкретном случае ламинарного движения в круглой трубе, заменим в его выражениями через среднюю или максимальную скорости но (27) или После простых сокращений будем иметь:

Введем в рассмотрение следующие два "числа Рейнольдса":

Тогда окончательно получим формулы сопротивления:

Из этих формул следует, что коэффициенты сопротивлений к или представляющие по (29) не что иное, как особым образом составленные безразмерные сопротивления или перепады давлений в трубе, являются функциями соответствующего числа Рейнольдса Если два ламинарных течения в цилиндрических круглых трубах

подобны между собою, то соответствующие им числа равны друг другу. Если же эти числа не равны, а следовательно, движения не подобны, то, в полном соответствии с тем, что было сказано в конце предыдущего параграфа, коэффициенты сопротивлений представятся некоторой функцией (30) числа по которой может быть вычислено сопротивление при любом ламинарном движении.

Зная диаметр трубы и среднюю или максимальную скорость, но формулам (29) и (30) можем определить сопротивление движению жидкости с заданными коэффициентами вязкости и плотности на любом участке длины Наиболее употребительны первые формулы равенств (29) и (30), заключающие коэффициент к и среднюю скорость

Введем теперь в рассмотрение напряжение трения на стенке круглой трубы, равное по закону Ньютона

В силу равномерности и осесимметричности движения можно составить простое условие равновесия столба жидкости (рис. 157) в трубе под действием движущего перепада давления приложенного к сечению трубы с площадью и сопротивления трения на стенке, равного произведению напряжения трения на боковую поверхность участка I трубы:

Рис. 157.

Отсюда следует, что между движущим перепадом и напряжением трения существует простое соотношение

которое можно сформулировать так: напряжение трения на поверхности круглой цилиндрической трубы равно перепаду давления на участке длиной в половину радиуса.

Формулы (29) на основании (31) дают следующие выражения напряжения трения:

Для дальнейшего важно отметить, что формулы (29) и (32), так как и соотношение (31), являются общими формулами Движения

в круглой цилиндрической трубе, справедливыми не только для ламинарного, но и для так называемого "турбулентного" движения, о котором будет речь впереди; формулы же сопротивления (30) верны только для ламинарного режима. Подставляя значения из (30) в (32), получим:

Эти же результаты получим, вычисляя по формулам (31), (24"), (27) и {27").

В случае трубы эллиптического сечения напряжение трения на стенке меняется по периметру сечения, так как поток не симметричен. Интересно отметить, что среднее значение напряжения трения но периметру эллипса меньше, чем напряжение трении в круглой трубе той же площади сечения. Аналогичный результат имеет место и по отношению к объемному расходу: при том же перепаде давления расход сквозь трубу эллиптического сечения меньше, чем через равновеликое ему по площади сечение круглой трубы.

Распределение скоростей по сечению круглой цилиндрической трубы можно получить и иначе. Составим вместо (23) уравнение движения в полярных координатах Для этого выразим лапласиан в полярных координатах и опустим, в силу осесимметричности движения, члены с производными по углу Тогда получим в качестве основного уравнения:

Интегрируя, найдем общее решение

Из условия ограниченности скорости на оси трубы при следует, что вторая постоянная найдется из условия

что приведет к полученной ранее "параболе скоростей" Решение (33) представляет преимущество по сравнению с ранее приведенным. Так, например, пользуясь равенством (33), легко получить распределение скоростей в кольцеобразной области между двумя соосными круглыми цилиндрами радиусов Подчиняя решение (33) граничным условиям:

получим эпюру скоростей

а также формулы расхода и средней скорости:

Задача о ламинарном движении вязкой несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую трубу произвольного сечения не представляет принципиальных затруднений. Дело сводится к решению уравнения Пуассона (23) с постоянным свободным членом. Зная частное решение уравнения и заменяя на сумму сведем уравнение (23) к плоскому уравнению Лапласа, для решения которого можно применять метод комплексного переменного или другие приемы.

Приведем без доказательства заимствованные из теории кручения призматических стержней прямоугольного сечения формулы скоростей и расхода в ламинарном движении несжимаемой вязкой жидкости сквозь призматическую трубу прямоугольного сечения

Среднюю по сечешно скорость можно определить формулой

где функция

имеет следующие значения:

Простые формулы получаются для призматической трубы с сечением в виде равностороннего треугольника и др.