§ 72. Элементы теории крыла конечного размаха. Вихревая система крыла. Гипотеза плоских сечеиий. Геометрические и действительные углы атаки. Подъемная сила и «индуктивное сопротивление»

При рассмотрении плоского обтекания цилиндрического крыла бесконечного размаха уже указывалось, что на самом деле нельзя полностью пренебрегать наличием в жидкости трения. За счет внутреннего трения, особенно сильно развивающегося в тонком пограничном слое, образуются мощные вихри, совокупность которых, но гениальной идее Жуковского, может быть заменена одним "присоединенным вихрем", поясняющим возникновение подъемной силы крыла. Этот "присоединенный вихрь", в полном согласии с классической теоремой Гельмгольца (§ 12 гл. I) об одинаковости интенсивности вихревой трубки вдоль всей ее длины, не может начинаться или заканчиваться в жидкости. Совпадая по направлению с осью крыла бесконечного размаха, "присоединенный вихрь" приходит из бесконечности и в бесконечность же уходит. Интенсивность "присоединенного вихря" одинакова вдоль размаха цилиндрического крыла, одинакова и циркуляция скорости по контуру, охватывающему любое сечение крыла, и подъемная сила единицы длины крыла.

Опыт показывает, что на крыле конечного размаха, например, на крыле самолета, циркуляция не сохраняется вдоль размаха, достигая максимального своего значения где-то посередине крыла и обращаясь в нуль на его концах. Такая переменность циркуляции говорит вместе с тем и об изменениях интенсивности "присоединенной" вихревой трубки, что, как будто, находится в противоречии с ранее упомянутой теоремой Гельмгольца.

С. А. Чаплыгин еще в 1910 г. нашел причину возможности изменения интенсивности "присоединенного вихря" в сходе вихрей с поверхности крыла и дал первую теорию крыла конечного размаха; изложение этой теории появилось, повидимому, впервые лишь в специальной монографии В. В. Голубева, выпущенной в свет в 1931 г. Только спустя много лет после создания теории Чаплыгина появилась теория несущей линии Прандтля.

Сущность простейшей схемы крыла конечного размаха заключается в следующем. От основного "присоединенного" вихревого шнура крыла отделяются и уносятся потоком так называемые "свободные" вихри, оси которых в некотором удалении от крыла совпадают с линиями

тока уносящей их жидкости. При поступательном равномерном движении крыла конечного размаха в перпендикулярном к оси крыла направлении или, что то же, при набегании однородного потока на крыло, можно заменить крыло некоторой воображаемой стационарной системой неподвижных вихрей, состоящей из "присоединенных" вихрей крыла и сошедших с крыла "свободных" вихрей; эта схема показана на рис. 148.

Несколько идеализируя схему, заменим присоединенный вихрь крыла несущей вихревой линией, представленной отрезком — оси а "свободные вихри" расположим в плоскости в виде уходящих в бесконечность лучей, параллельных оси (рис. 149).

Рис. 148.

Рис. 149.

"Свободные" вихри образуют вниз по потоку за "несущей линией" вихревую пелену, представляющую, так же как и "вихревой слой" (§ 40 гл. V), поверхность разрыва составляющих скоростей, параллельных плоскости пелены.

Пусть непрерывная и дифференцируемая функция характеризует распределение циркуляции вдоль несущей линии Изменению циркуляции "присоединенного вихря" от значения в точке до в точке

соответствует сход вихревой полоски (на рис. 149 заштрихованной), образующей элемент "вихревой пелены", циркуляции которого равна также

Учитывая сошедшую, "освободившуюся" от крыла циркуляцию, убедимся, что совокупность "связанной" с крылом, "присоединенной" циркуляции и сошедшей с крыла "свободной" циркуляции при стационарном движении жидкости, в полном согласии с теоремой Гельмгольца, сохраняется неизменной.

Вихревая система крыла конечного размаха индуцирует вокруг себя некоторое поле скоростей, которое складывается с однородным набегающим потоком. В результате такого наложения создается некоторое сложное неоднородное поле скоростей, требующее для своего исследования дополнительных приближенных приемов.

Проведем через точки "несущей линии" перпендикулярные к ней плоскости, одна из которых показана на рис. 149. Рассмотрим проекцию действительного поля скоростей в точках плоскости на эту плоскость и назовем соответствующий, лишенный поперечных скоростей поток сечением действительного потока плоскостью или, для краткости, плоским сечением потока.

Плоские сечения потока только далеко впереди от "несущей линии" представляют однородные поля скоростей; в остальной области поток неоднороден, так как отдельные его точки находятся на разных расстояниях от вихревой системы крыла. Заметим еще, что плоские сечения потока отличны друг от друга, так что совокупность их не определяет плоского потока.

Рассмотрим подробнее ту часть плоского сечения, которая расположена вблизи точки О пересечения несущей линии с плоскостью сечения, или, схематически, поток вблизи сечения крыла той же плоскостью (рис. 150).

Рис. 150.

Отвлечемся на мгновение от возмущений, создаваемых крыловым профилем, т. е. элементом несущего "присоединенного" вихря.

Если бы крыло имело бесконечный размах и поток был бы строго плоским, то, удалив крыло и производимые им возмущения, мы получили бы однородное поле набегающего потока с некоторой скоростью на бесконечности В случае крыла конечного размаха это не так. Если в плоском сечении из полного поля скоростей вычесть поле возмущений от элемента несущей линии, то оставшееся

поле плоского сечения потока будет содержать как оонородную часть от набегающего потока, так и добавочную неоднородную часть индуцируемую "свободными вихрями" пелены, расположенными в плоскости Неоднородность поля этих индуктивных скоростей - является следствием различия расстояний отдельных точек плоскости от элементов "свободных вихрей" пелены.

Анализируя с количественной стороны порядок разности между рассчитанными по формуле Био - Савара индуктивными скоростями в точках плоскости вблизи точки О и в самой точке О, можно было бы доказать, что во всех плоских сечениях потока, удаленных от концов несущей линии (крыла), неоднородность поля индуктивных скоростей вблизи сечения крыла тем меньше, чем больше удлинение крыла, т. е. отношение его размаха к средней хорде.

Таким образом, представляется допустимым для каждого плоского сечения потока ввести понятие о своей местной скорости на бесконечности (рис, 150), равной сумме скорости потока на бесконечности перед крылом и "индуктивной скорости" созданной "свободными вихрями" пелены в точке О несущей линии:

Имея это в виду, примем следующую "гипотезу плоских сечений": при достаточно больших удлинениях крыла конечного размаха каждое плоское сечение потока, удаленное от концов крыла, можно рассматривать как плоское обтекание полученного в пересечении крыла плоскостью крылового профиля, с "местной скоростью на бесконечности", равной сумме скоростей потока на бесконечности впереди крыла и скорости, индуцированной "свободными вихрями" пелены в соответствующей точке несущей линии.

Принятое допущение, сообщающее условным плоским сечениям потока смысл подлинных плоских движений, сводит расчет крыла конечного размаха к решению изложенной в гл. V задачи о плоском обтекании крыловых профилей и к последующему суммированию результатов по всем плоским сечениям крыла. Такое допущение имеет смысл только для крыльев значительного удлинения. Изложенная гипотеза плоских сечений неприемлема для крыльев малого удлинения.

Обозначим через а (рис. 151) угол агаки набегающего потока на бесконечности перед крылом, т. е. угол между вектором и хордой сечения крыла. Этот угол назовем геометрическим углом атаки. Введем в рассмотрение также действительный (или эффективный) угол атаки как угол между "местной скоростью на

бесконечности" и той же хордой. Угол между скоростями обозначим через и назовем углом скоса потока или индуктивным углом. Как видно из рис. 151,

Давление плоского потока на крыловой профиль, согласно гипотезе плоских сечений и теореме Жуковского, определяется отнесенным к единице длины крыла по размаху главным вектором равным по величине

где должно быть определено, как было указано в гл. V, путем использования постулата Чаплыгина о безотрывном обтекании задней кромки сечения крыла. Вектор направлен (рис. 150) по перпендикуляру к "местной скорости на бесконечности" в соответствующую сторону.

Рис. 151.

В каждом плоском сечении пектор будет иметь свою величину и свое направление. Желая найти подъемную силу крыла в целом, определим сначала подъемную силу сечения, как отнесенную к единице длины крыла составляющую Ну вектора пн направление, перпендикулярное вектору скорости потока на бесконечности V впереди крыла, а уже затем просуммируем эти составляющие, умноженные на длину элемента крыла, по всему размаху. Такое определение подъемной силы представляется вполне естественным, если обратить движение и рассматривать движение крыла конечного размаха в неподвижной жидкости. Замечательно, что при этом, наряду с подъемной силой сечения появляется еще составляющая главного вектора по направлению движения, т. е. сила сопротивления. Эту, также отнесенную к единице длины крыла по размаху силу называют индуктивным сопротивлением сечения, а сумму величин умноженных на элемент длины крыла, вычисленную по всему размаху крыла, называют индуктивным сопротивлением крыла. Как это следует из рис. 150, имеем:

Возникновение в идеальной жидкости сопротивления движению тела представляет лишь кажущееся противоречие с парадоксом Даламбера. При доказательстве правильности парадокса, Даламбера (§ 64)

было оговорено, что тело имеет ограниченные размеры и возмущающее влияние его не распространяется на бесконечность. В рассматриваемом же случае движения крыла конечного размаха образовавшаяся за крылом вихревая пелена тянется до бесконечности, производя возмущения в бесконечном удалении вниз по потоку от крыла. Легко себе представить, что в некоторой аналогии с обтеканием решетки профилей скорость на бесконечности перед крылом конечного размаха не равна скорости на бесконечности за крылом в области вихревой пелены. В этом — основное отличие теории крыла конечного размаха от теории пространственного обтекания тел вообще.

Рис. 152.

Рис. 153.

Прежде чем перейти к изложению методов расчета крыла конечного размаха, заметим, что не следует в дальнейшем забывать о важной физической стороне явления обтекания крыла конечного размаха, совершенно не учитываемой гипотезой плоских сечений, — о наличии вблизи поверхности крыла поперечных токов. Эти поперечные токи можно легко наблюдать на поверхности модели крыла, установленной в аэродинамической трубе, если покрыть верхнюю и нижнюю поверхности крыла тонкими шелковинками. Отклонение шелковинок (рис. 152) от среднего продольного направления потока оказывается максимальным вблизи концов крыла, причем, как показывают фотографии такого рода "спектров обтекания", на верхней поверхности крыла шелковинки скашиваются к середине крыла, а на нижней — к концам крыла. Такое расположение шелковинок говорит о наличии тенденции к перетеканию воздуха с нижней поверхности на верхнюю, что и естественно, так как на верхней поверхности создается разрежение, а на нижней давление (рис. 153). Поперечные токи тем больше, чем больше перепад давлений между нижней и верхней поверхностями крыла, т. е. чем больше коэффициент подъемной силы крыла и чем интенсивнее вихревая пелена. При малых значениях коэффициента подъемной силы (что соответствует малым углам атаки) пренебрежение поперечными токами допустимо, при больших углах атаки, особенно при возникновении отрыва пограничного слоя с поверхности крыла, роль поперечных токов увеличивается.

При дальнейшем изложении методов расчета крыла конечного размаха будем предполагать, что коэффициент подъемной силы невелик, вихревая пелена имеет малую интенсивность, а следовательно, малы все индуктивные скорости, малы и поперечные токи.