§ 84. Обтекание тел жидкостью и газом при больших значениях числа Рейнольдса. Основные уравнения теории ламинарного пограничного слоя

В основных задачах, выдвигаемых перед гидроаэродинамикой, авиацией, кораблестроением, турбомашиностроением и другими областями техники, приходится иметь дело с обтеканием тел при больших значениях числа Рейнольдса.

Представим себе некоторое тело (рис. 164), плавно обтекаемое вязкой жидкостью или газом. Будем увеличивать число Рейнольдса, изменяя для этого соответствующим образом или плотность и вязкость

среды, или переходя к геометрически подобному и подобно расположенному телу большего размера, или, наконец, увеличивая скорость набегающего потока. Ограничим способы увеличения рейнольдсового числа лишь одним условием, чтобы число характеризующее влияние сжимаемости среды, при этом либо сохраняло неизменное значение, либо менялось в области тех малых своих значений, когда влияние сжимаемости не существенно. Наблюдаемое вблизи поверхности неподвижного обтекаемого тела возрастание скорости от нуля непосредственно на самой поверхности тела до величины порядка скорости набегающего потока в некотором удалении от тела будет при больших значениях числа Рейнольдса сосредоточено в весьма тонкой по сравнению с размерами обтекаемого тела области, причем при росте числа Рейнольдса толщина области все более и более уменьшается.

Рис. 164.

Эта образующаяся только при больших значениях числа Рейнольдса, расположенная вблизи поверхности тела область движения вязкой жидкости называется пограничным слоем.

С кинематической стороны область пограничного слоя замечательна тем, что в ней практически сосредоточено все вихревое движение набегающей жидкости, а вне ее движение можно считать потенциальным, безвихревым. Действительно, в пограничном слое, как только что было отмечено, касательные к поверхности тела скорости меняются очень резко, а следовательно, их производные по нормали к поверхности обтекаемого тела очень велики, что приводит к большой интенсивности завихренности жидкости, проходящей сквозь область пограничного слоя. Наоборот, на внешней границе пограничного слоя и вне его эти производные становятся сравнительно малыми, и завихренностью внешнего по отношению к пограничному слою потока можно пренебрегать. Как уже упоминалось в начале гл. V, именно этим объясняется, почему при реальных обтеканиях столь хорошо оправдываются результаты расчетов обтеканий, произведенных по теории безвихревого движения идеальной жидкости. При движении тела сквозь неподвижную жидкость или, что все равно, при набегании на него однородного на бесконечности потока, скорости деформаций, входящие в члены уравнений настоящей главы и содержащие коэффициент

вязкости, вдалеке от тела окажутся очень малы, и уравнения (14) будут мало отличаться от уравнений Эйлера для "идеальной" жидкости. При этом "идеальном" движении реальной жидкости вихри, как мы уже знаем, образовываться не могут. Только пройдя сквозь область пограничного слоя на поверхности обтекаемого тела, поток становится вихревым и затем, уже оставив тело и попав в закормовую "кильватерную" область за телом или, как еще иногда говорят, в область "аэродинамического следа", постепенно теряет полученную завихренность, исчезающую вследствие диффузии, причем энергия вихрей превращается в тепло, рассеивающееся благодаря теплопроводности.

Следующий простой опыт наглядно показывает возникновение пограничного слоя. Насыпем на поверхность воды в резервуаре какой-нибудь несмачиваемый порошок. Погружая вертикально в воду пластинку и медленно ее перемещая в продольном направлении, заметим, что не только близлежащие к пластинке частички порошка, но и далеко расположенные от нее частички будут увлекаться пластинкой в движение. При значительном увеличении скорости пластинки, казалось бы на первый взгляд, скорости частичек жидкости (а с ними и частиц порошка) должны были бы увеличиться как вблизи пластинки, так и вдалеке от нее. Между тем, отчетливо видно, что за пластинкой следуют лишь частички, расположенные в непосредственной близости к ней, находящиеся в пограничном слое и в "спутном потоке", как называют аэродинамический "след" за движущимся сквозь неподвижную жидкость телом, перемещения же удаленных частиц становятся пренебрежимо малыми.

Как показывают непосредственные измерения, пограничный слой при тех больших значениях чисел Рейнольдса, с которыми приходится иметь дело на практике, очень тонок. Возрастая по толщине от носка крыла к его хвосту, пограничный слой (см. рис. 164, где граница пограничного слоя показана пунктиром, причем размеры пограничного слоя для наглядности сильно преувеличены и совсем не соответствуют масштабу тела даже в точке максимальной толщины вблизи хвоста крыла) достигает обычно лишь порядка сотых частей хорды. Так, на крыле самолета с хордой 1,5-2 м пограничный слой на режиме максимальной скорости имеет порядок нескольких сантиметров. На корабле, длина которого имеет порядок 100 м, "спутный поток" может достигать толщины 1 м.

Если попытаться вычертить в одном и том же линейном масштабе крыло и пограничный слой на нем, то на участке поверхности крыла носика до точки минимума давления граница пограничного слоя практически сольется с поверхностью крыла и только вблизи хвостика заметно отойдет от нее.

Чтобы сделать картину движения в пограничном слое сравнимой по масштабу с внешним потоком, можно применить анаморфозу, сохраняя для продольных длин тот же масштаб, что и для тела, например,

взяв для этого за масштаб хорду крыла, для поперечных же размеров, перпендикулярных к поверхности крыла, принять за масштаб специальную убывающую с числом Рейнольдса длину, закон убывания которой должен быть найден из рассмотрения уравнений движения вязкой жидкости.

То же относится и к скоростям. Продольные, параллельные поверхности тела скорости имеют тот же порядок, что и скорости внешнего потенциального потока, достигаемые вблизи внешней границы пограничного слоя. Поэтому за масштаб продольных скоростей можно принять хотя бы скорость набегающего потока. Совершенно иначе обстоит дело с поперечными, нормальными к поверхности тела скоростями. В тонком пограничном слое, в силу непроницаемости поверхности тела, поперечные скорости так же малы по сравнению с продольными скоростями, как поперечные размеры слоя по сравнению с продольными. Желая, скажем, на одном графике показать кривые продольных и поперечных скоростей, придется для последних принять особый масштаб, убывающий вместе с толщиной пограничного слоя при возрастании рейнольдсова числа. Оговоримся, что в приведенном рассуждении терминам "толщина" и "внешняя граница" пограничного слоя не придается определенного геометрического количественного смысла. Эти понятия имеют лишь качественный смысл, как характеристики порядка поперечного размера области, где скорости от нулевого значения на стенке изменяются до величин порядка скоростей внешнего потока. Так, например, под "толщиной" пограничного слоя можно подразумевать такое расстояние от стенки, на котором скорость будет отличаться от скорости внешнего потока на 1%.

Во избежание дальнейших недоразумений следует подчеркнуть, что граница пограничного слоя не совпадает с линией тока жидкости. Как видно из рис. 164, линии тока входят в область пограничного слоя, пересекаясь с его границей. Вопрос о характере смыкания течения в пограничном слое и во внешнем потенциальном потоке будет далее количественно уточнен.

Установим систему уравнений плоского стационарного движения вязкого сжимаемого газа в пограничном слое на цилиндрическом теле, имеющем плавную крыловую форму. Такой пограничный слой, движение жидких частиц в котором имеет упорядоченный характер, в отличие от турбулентного (см. следующую главу) называется ламинарным.

Условимся обозначать через (рис. 164) соответственно продольные и поперечные координаты и составляющие скорости в области пограничного слоя. Координаты х и у на самом деле криволинейны, но при малом значении отношения толщины пограничного слоя к радиусу кривизны поверхности обтекаемого тела, имеющем место на профилях типа крыловых, можно в уравнениях движения пренебречь дополнительными членами, характерными для уравнений в криволинейных координатах, и пользоваться координатами х, у как обычными прямолинейными декартовыми координатами.

При принятом условии стационарности уравнения плоского движения при отсутствии объемных сил приводят к замкнутой системе уравнений [вспомнить систему (14) § 77]:

Подобно тому, как это было сделано в § 78, перейдем к безразмерной форме этих уравнений, выражая все величины в некоторых характерных для них масштабах, но только в настоящем случае примем во внимание ранее приведенные соображения о различии в пограничном слое масштабов продольных и поперечных координат и скоростей. Поэтому сохраним для масштабы: I (какой-то характерный для обтекаемого тела размер, например хорда крыла) и (скорость набегающего потока), а для примем свои, пока еще не определенные масштабы Сохраняя остальные обозначения, как в § 78, и не меняя обозначений для безразмерных величин, будем иметь:

(см. скан)

где, напоминаем, безразмерные величины, представляет известный из предыдущего коэффициент давлений.

Разделим теперь обе части первых трех уравнений на постоянные коэффициенты при первых членах в левой части, обе части четвертого — на выражение и заметим еще, как и ранее в § 78, что:

тогда будем иметь следующую систему уравнений:

(см. скан)

Приведя, таким образом, уравнения плоского стационарного движения вязкого сжимаемого газа к безразмерному виду, допустим, что анаморфоза, о которой шла речь в начале вывода, действительно возможна: иными словами, допустим, что выбором разных маштабов для размерных продольных и поперечных длин и скоростей в пограничном слое можно добиться конечности всех входящих в уравнения (60)

безразмерных величин и их безразмерных производных, как бы ни стало велико рейнольдсово число

Обращаясь прежде всего к безразмерному уравнению непрерывности (третьему уравнению предыдущей Системы), видим, что для этого следует произвольные пока масштабы подчинить условию:

после чего из первого уравнения системы будет следовать необходимость равенства:

так как в противном случае из уравнения продольного движения в пограничном слое совершенно исчезнет влияние вязкости. Выбирая в двух предыдущих равенствах константы равными единицам, положим, чтобы удовлетворить обоим равенствам:

Отсюда следует закон убывания масштабов толщин и поперечных скоростей в пограничном слое: с возрастанием рейнольдсова числа поперечные размеры и скорости в пограничном слое изменяются обратно пропорционально корню квадратному из рейнольдсова числа. Это соотношение прекрасно подтверждается опытом.

Обращаясь ко второму уравнению системы (60), легко убедимся, что, в силу (61),

откуда вытекает второе важное свойство пограничного слоя: при больших значениях рейнольдсова числа можно пренебрегать поперечным изменением давления в пограничном слое. Давление во всех точках поперечного сечения пограничного слоя одно и то же и может изменяться лишь при переходе от сечения к сечению; следовательно, в плоском стационарном слое

Иначе говоря, давление внешнего потока передается сквозь пограничный слой без изменения. Этот важный физический факт разъясняет, почему распределение давлений, рассчитанное по теории безвихревого движения идеального газа, хорошо совпадает с действительно наблюдаемым на опыте при плавном обтекании тел. Некоторое расхождение теоретического и экспериментального распределений давлений,

имеющее место в кормовой части обтекаемого тела, объясняется обратным влиянием сравнительно толстого вблизи кормы пограничного слоя на внешний поток (см. далее § 100).

Выведенное только что свойство распределения давлений в потоке вязкой жидкости при больших значениях рейнольдсова числа объясняет также происхождение наблюдаемого иногда явления отрыва пограничного слоя с поверхности обтекаемого тела.

В кормовой области цилиндрического крыла вниз по течению за точкой минимума давления происходит возрастание давления и при этом жидкость движется из области меньшего давления в область большего давления против подтормаживающего влияния перепада давлений. Если бы поток был идеален и скорость на поверхности крыла не равнялась нулю, то запас кинетической энергии жидкости оказался бы достаточным для преодоления указанного тормозящего влияния поля давлений.

Рис. 165.

В пограничном слое поле давлений по предыдущему мало отличается от поля давлений в идеальной жидкости, между тем, вблизи поверхности крыла скорости, а следовательно, и кинетическая энергия частиц жидкости ничтожны. Торможение жидкости вызывает остановку, а далее и попятное (рис. 165) движение под действием направленного против движения перепада давления. Встреча набегающего потока с попятно движущейся в пограничном слое жидкостью приводит к резкому оттеснению линий тока от поверхности тела, к утолщению пограничного слоя, а затем и к отрыву его от поверхности тела.

До точки отрыва как видно из рис. 165, , за точкой отрыва самой точке отрыва имеем условие отрыва:

Из приведенных соображений ясно, что отрыв может произойти только в области замедляющегося внешнего потока, где давление восстанавливается, т. е. только в кормовой части крыла вниз по течению за точкой минимума давления, в которой

На рис. 165 показан примерный вид профилей скорости (жирные линии), линий тока (тонкие линии) и "границы" пограничного слоя (пунктир) вблизи отрыва. На крайнем правом профиле скоростей часть отрицательных скоростей, соответствующих попятному движению, заштрихована. Подробнее об явлении отрыва будет сказано далее.

Возвращаясь к выводу основных уравнений пограничного слоя, произведем в безразмерной системе (60) замену масштабов согласно (61), тогда получим:

Таким образом, удается выделить в общих уравнениях движения вязкого сжимаемого газа те члены, которые при больших значениях рейнольдсова числа имеют главное значение, и оценить порядок членов, которые при больших можно отбросить.

Отбросим в полученной системе уравнений члены, имеющие порядок малости — и выше. После этого частная производная в правой части первого уравнения системы может быть, согласно второму уравнению системы, заменена полной производной а второе уравнение опущено. Далее, левая часть четвертого уравнения системы в силу третьего уравнения может быть преобразована к более простому виду:

В результате получим следующую безразмерную систему уравнений плоского стационарного ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе:

Уравнения неизотермического ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости можно получить из этих общих уравнений, полагая число характеризующее влияние сжимаемости, равным нулю. Отбрасывая в третьем и четвертом уравнениях системы (63) члены с получим следующие уравнения неизотермического пограничного слоя в несжимаемой жидкости:

Безразмерная плотность в этой системе, так же как и вязкость предполагаются функциями Пренебрегая, наконец, в случае малых перепадов температур влиянием температуры на плотность и вязкость, т. е. полагая получим упрощенную систему уравнений:

в которой последнее уравнение может служить для определения температуры, если из первых двух уравнений уже предварительно определено поле скоростей.

Если первые два уравнения системы (65) переписать в размерном виде, то примут вид (для размерных величин сохранены те же обозначения, что и для безразмерных):

В этой форме уравнения плоского ламинарного слоя были получены впервые Прандтлем о 1904 г.

Установленные системы уравнений на первый взгляд представляются незамкнутыми, так как число неизвестных в них как будто на единицу превышает число уравнений. Так, например, в простейшем случае уравнений (65) имеем три уравнения с четырьмя неизвестными:

На самом деле этом характерная особенность теории пограничного слоя — при больших значениях числа распределение давлений в любых точках поперечного сечения пограничного слоя, в том числе и на поверхности обтекаемого тела, совпадает с распределением давлений на внешней границе пограничного слоя, где происходит смыкание пограничного слоя с внешним потенциальным потоком; это распределение давлений предполагается заданным, определенным заранее путем решения задачи о потенциальном обтекании или измеренным экспериментально при помощи дренажных отверстий, расположенных на поверхности обтекаемого цилиндрического тела.

Обозначим через размерную скорость, соответствующую размерному давлению тогда, замечая, что по теореме Бернулли

И переходя к безразмерному коэффициенту давления и безразмерной скорости и координате, для которых сохраним то же обозначение, что и для размерных, получим:

Подставляя это выражение безразмерной производной давления в систему уравнений пограничного слоя, заменим в них давление на известную функцию

Последнее более удобно, так как функция входи очевидно, в гидродинамические граничные условия задачи:

подробнее о которых будет сказано ниже в связи с рассмотрением простейших задач теории ламинарного пограничного слон.