§ 22. Эйлерово представление конвективного изменения объемного интеграла. Перенос величины сквозь контрольную поверхность

Рассмотрим движение некоторого индивидуального жидкого объема с поверхностью . К такому объему, представляющему систему материальных жидких частиц, можно применять общие законы сохранения массы и энергии, теоремы об изменении количеств движения, моментов количеств движения, кинетической энергии и др. При составлении выражений изменения со временем соответствующих величии приходится вычислять индивидуальную производную от объемного интеграла, представляющего эту величину. По предыдущему, индивидуальная производная может быть представлена как сумма локальной производной, учитывающей нестационарность поля дифференцируемой неличины, и конвективной производной, характеризующей неоднородность поля.

Эйлеру принадлежит общепринятый в настоящее время прием выражения изменения некоторой величины в объеме через перенос этой же величины сквозь поверхность, ограничивающую объем (об этом уже упоминалось в § 11).

Условимся в дальнейшем называть "контрольной поверхностью", соответствующей некоторому движущемуся индивидуальному жидкому объему, неподвижную в пространстве поверхность, ограничивающую рассматриваемый движущийся объем в данный момент времени. Контрольная поверхность представляет зафиксированную мгновенную форму поверхности тела в пространстве. Перемещаясь в пространстве, деформирующийся жидкий объем в каждый данный момент времени притекает сквозь собственную контрольную поверхность, соответствующую рассматриваемому моменту времени.

Введем понятие о переносе физической величины сквозь замкнутую или разомкнутую поверхность о. Возьмем в пространстве, заполненном движущейся средой, элементарную площадку с ортом нормали направленным в положительную сторону площадки. Произведение физической величины безразлично скалярной, векторной или тензорной, на секундный расход среды сквозь площадку определяет перенос величины сквозь площадку а интеграл перенос той же величины скозь поверхность о.

Полагая, например, равным отнесенному к единице объема вектору количества движения получим вектор переноса количества движения сквозь поверхность о, равный интегралу

Протекающую сквозь поверхность о секундную массу среды можно рассматривать как перенос плотности через поверхность величину как перенос кинетической энергии и т. п.

Докажем теперь, что конвективное изменение интеграла от некоторой величины, взятого по движущемуся объему, равно переносу той же величины сквозь "контрольную" поверхность, ограничивающую этот объем в данный момент времени.

Для доказательства поступим так же, как в § 11 при выводе формулы Остроградского, а именно, разобьем выбранный объем на большое число элементарных трубок тока и для каждой из них (см. рис. 9) подсчитаем секундное конвективное изменение объемного интеграла от рассматриваемой величины Для этого, отвлекаясь локального изменения составим разность интегралов по смещенному к моменту и первоначальному в момент объемам:

Эта разность интегралов, в силу непрерывности может быть с точностью до малых высшего порядка приведена к разности таких двух величии:

так как при вычислении конвективного изменения следует отвлечься кестационарности и сократить интеграл по общему для уменьшаемого 11 вычитаемого в разности (27) объема Искомое секундное конвективное изменение интеграла, распространенного по объему элементарной трубки, будет равно:

Суммируя эти секундные конвективные изменения по всему объему с поверхностью о, получим полное секундное конвективное изменение объемного интеграла в виде

что и доказывает предложение.

Желая избежать возможных недоразумений, подчеркнем, что в только что проведенном доказательстве определялась индивидуальная конвективная производная от объемного интеграла, т. е. вычислялось изменение но времени интеграла, распространенного на конкретный движущийся объем, состоящий все время из одних и тех же частиц жидкости или газа. Это означает, что внутри объема не могло быть источников притока (стока) новых масс жидкости или газа. Если же такие — "особые" — точки в потоке (источники или стоки) существуют, то их следует дополнительно выделять контрольными поверхностями, например, окружать сферами, и включать поверхности этих сфер в общую совокупность поверхностей, ограничивающих объем интегрирования; таким приемом приходится постоянно пользоваться при рассмотрении движения жидкости.

Итак, полная индивидуальная производная от рассматриваемого объемного интеграла может быть представлена следующей суммой:

Полагая в этой формуле последовательно:

получим выражения индивидуального изменения во времени: массы, энергии, количества движения, момента количества движения и кинетической энергии жидкости в рассматриваемом объеме.

Примечание. Непрерывность распределения в пространстве величины была использована при выводе формулы (29) лишь в области входного и выходного сечений элементарной трубки тока. Что же касается объема трубки общего для начального и смещенного положений движущегося объема и выпадающего при вычислении приращения объемного интеграла, то внутри этого объема величина может изменяться произвольным, непрерывным или прерывным, образом, лишь бы только интеграл сохранял определенный смысл.

Предположим, что внутри объема, ограниченного "контрольной" поверхностью, имеются поверхности разрыва непрерывности интегрируемой величины, причем на этих поверхностях величина

претерпевает при переходе с одной стороны поверхности на другую конечный скачок. Будем предполагать, кроме того, что эта поверхность разрыва ни целиком, ни частью не совпадает с контрольной поверхностью, а если пересекается с ней, то на участках, где расход жидкости сквозь контрольную поверхность равен нулю (часть контрольной поверхности совпадает с поверхностью тока).

Из проведенного в настоящем параграфе вывода формулы (29) непосредственно следует, что формула сохраняет свою силу и в только что указанном случае наличия поверхностей разрыва. Такого рода поверхности разрыва встретятся в следующей главе при рассмотрении ударных волн в сжимаемом газе.