§ 10. Скоростное поле сплошной среды в окрестности данной точки. Угловая скорость и вихрь. Тензор скоростей деформаций и его компоненты

Желая изучить скоростное поле движущейся жидкости в деталях, применим обычный прием математического анализа — рассмотрим в данный момент времени ноле скоростей жидкости в окрестности какой-нибудь точки пространства, причем координаты и все величины, определенные в этой точке, будем отмечать индексом нуль.

Разлагая проекции скорости любой частицы движущейся в окрестности точки в ряд, будем иметь с точностью до малых высших порядков:

Подчеркнем, что здесь все величины с подстрочным индексом нуль являются постоянными величинами или функциями только от времени, проекции же скорости рассматриваемой точки являются линейными функциями координат точки относительно точки

Сравним линейное поле скоростей (43) с простейшим, известным нам еще из кинематики твердого тела полем (распределением) скоростей в общем случае движения твердого тела:

или в векторной форме

где вектор угловой скорости тела в данный момент, одинаковый для всех точек тела (рис. 7), т. е. не зависящий от вектора-радиуса точек тела или от вектора-радиуса полюса скорость полюса, так же как и угловая скорость, зависящая только от времени.

Рис. 7.

Пользуясь этим, составим разности накрест взятых производных от проекций скорости но координатам и легко найдем:

после чего поле скоростей (44) примет вид:

индекс нуль у скобок, содержащих производные, введен для удобства сравнения с системой (43); это допустимо, так как скобки имеют одинаковые значения во всех точках.

Сравнивая (43) и (47), видим, что поле скоростей в окрестности данной точки может быть разбито на две части: 1) соответствующую равенствам (47), т. е. полю скоростей в движущемся твердом теле (условимся называть эту часть тазитвердым движением), и 2) деформационную часть, отличающую поле скоростей движущейся жидкости или газа от движения твердого тела, так что будем иметь:

Система равенств (48) заключает в себе проекции скорости в квазитвердом движении, определяемые формулами (47), и проекции Идеф, Тодеф скорости деформационного движения

вычисляемые как разности и равные:

Отсюда следует первая теорема Гельмгольца: всякое движение жидкости или газа в окрестности некоторой точки (полюса) можно разложить на квазитвердое движение, состоящее из поступательного вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса, и деформационное движение.

Заслуга выделения из общего движения элемента жидкости части, отвечающей движению твердого тела, принадлежит Коши, который в 1815 г. впервые ввел понятие о "среднем вращении жидкости в точке". Однако, имея в виду дальнейшее развитие и применение понятия вращения в теории вихрей, созданной Гельмгольцем, мы сохраним общепринятое наименование только что доказанной теоремы.

Вектор с проекциями:

равный удвоенной угловой скорости вращения твердого тела, следуя терминологии Гельмгольца, назовем "вихрем" или "ротацией" скоростного поля квазитвердого движения и условимся обозначать символом (иногда пользуются еще символом В рассмотренном частном случае ноля скоростей твердого тела вихрь скорости есть вектор, одинаковый для всех точек тела в данный момент времени, в общем же случае любого скоростного поля этот вектор будет изменяться от точки к точке.

Вектор вихря (50) можно рассматривать как некоторую дифференциальную операцию, произведенную над векторной функцией аналогичную операцию можно производить над любой другой векторной функцией, образующей поле. Так, например, в общей механике условие потенциальности силового поля сводилось к выполнению равенств:

т. е. к равенству нулю вихря силы.

Для облегчения запоминания выражений проекций вихря скорости или проекции вектора угловой скорости можно предложить следующие простые символические формулы:

составление проекции которых по правилам векторного произведения сразу дает (50) и (46).

Распределение скоростей, соответствующее квазитвердому движению жидкости, можно, согласно (45) и (51), представить в виде:

где под следует понимать значение вектора в точке

Что касается вектора скорости деформационного движения Удеф, то его, согласно (49) и введенному ранее правилу умножения вектора на тензор [§ 7, равенства (20) и (21)], можно представить в форме

где - тензор (опускаем для упрощения письма индекс нуль):

называемый тензором скоростей, деформации. Аналогичной таблицей определяется в кинематике упругого тела "тензор деформаций" если под понимать не проекции скорости, а малые перемещения упругой среды. Между этими двумя тензорами существует очевидное соотношение:

где элемент времени, в течение которого произошли малые перемещения тела.

Тензор скоростей деформаций так же, как и тензор деформаций, симметричен. Так называется тензор, компоненты которого в таблице симметричны относительно главной диагонали, т. е. из девяти компонент симметричного тензора различны только шесть.

Отдельные компоненты тензора скоростей деформации имеют простой физический смысл. Докажем, что диагональные компоненты тензора:

представляют не что иное, как скорости относительных удлинений бесконечно малых отрезков, расположенных соответственно по направлению осей а диагональные компоненты:

равны половинам скоростей сдвигов или половинам скоростей скошений углов между этими отрезками.

Рис. 8.

Действительно, рассмотрим в данный момент времени три бесконечно малых "жидких", т. е. образованных из частиц жидкости, вектора: расположенных по осям координат (рис. 8) с началом в точке За время жидкие частицы (концы этих векторов) следуя деформационному полю скоростей, которое сейчас только и рассматривается, перейдут в новые положения точка поскольку исключены части движения жидкости как твердого тела, останется на прежнем месте Начальные (к моменту координаты точек будут:

конечные координаты (к моменту согласно равенствам (49), примененным отдельно к точкам:

будут:

а) для точки

б) для точки

в) для точки

Составим теперь, например, скорость относительного удлинения отрезка это будет, с точностью до малых высших порядков:

аналогично будет и для других диагональных компонент.

В начальный момент угол между осями был равен 90°, косинус его — нулю. Обозначим через уменьшение (скошение) этого угла к моменту тогда получим, в силу бесконечной малости угла

или, используя известную связь косинуса угла между двумя направлениями с их направляющими косинусами, в данном случае с точностью До малых высшего порядка, равными:

а) для направления

б) для направления мймг.

получим

Окончательно найдем (опуская индекс нуль) для скорости скошения угла

и аналогичные формулы для других направлений.