§ 30. Критические величины в одномерном потоке газа. Связь между скоростями до и после скачка. Изменение давления, плотности и температуры в скачке уплотнения

Введем в рассмотрение важное для последующего понятие критической скорости движения газа. Из уравнения сохранения энергии идеального газа (37) гл. при стационарном адиабатическом его движении путем, аналогичным примененному при выводе равенства (42) из (41), получим:

или, вспомнив определение адиабатической скорости звука (11):

Формула (47) дает непосредственное выражение местной скорости звука в некотором сечении одномерного стационарного потока через скорости частиц потока в этом сечении. Критической скоростью газа мзывается такая его скорость а, при которой скорость распространения звука по отношению к движущемуся газу равна абсолютной скорости самого потока. Полагая в равенстве а, получим:

Критическая скорость а представляет постоянную вдоль всего потока величину, характеризующую данный одномерный поток в целом, и может быть легко выражена через скорость звука в адиабатически и изэнгропически заторможенном газе. Для этого достаточно в (48) положить тогда получим:

Значения давления, плотности и температуры в "критическом" Сечении одномерного потока, т. е. в таком сечении, где скорость равна критическому своему значению, назовем также критическими и обозначим через и Из определения критической скорости следует

Сравнивая это выражение с аналогичным выражением скорости звука в адиабатически и изэнтропически заторможенном газе

и, принимая во внимание (49), получим:

Используя уравнение адиабаты и формулу Клапейрона, нетрудно найти и остальные критические величины:

Сопоставляя равенство (42) с формулами (47) и (48), приходим к важному результату

или по (49)

т. е. при прохождении газа сквозь скачок уплотнения критические значения скорости и температуры потока сохраняются. Сохраняются при этом и отношения критических давлений и плотностей, но не критические давления и плотности, взятые в отдельности.

Согласно (51) и (52), при прохождении газа сквозь скачок уплотнения сохраняется также температура адиабатически и изэнтропически заторможенного газа и отношение "заторможенных" давления и плотности:

Перепишем уравнение количеств движения (40) на основании (39) в виде

Уравнения энергии (47) и (48), примененные до и после скачка, дают:

Определяя из последних двух уравнений отношения и подставляя их значения в уравнение (53), получим после простых преобразований равенство:

откуда в силу неравенства сразу следует:

Из уравнения неразрывности (39) и условия вытекает, что скорость до скачка всегда больше, чем скорость после скачка Равенство (54) уточняет этот результат и показывает, что иными словами, перед скачком уплотнения газ движется со скоростью больше критической, а за скачком — меньше критической. Можно доказать также, что перед скачком газ движется со сверхзвуковой скоростью, за скачком — с дозвуковой скоростью, т. е., что имеют место неравенства:

где местные скорости распространения звука в газе до и после скачка. Для этого используем равенство (48) и напишем по предыдущему:

Разрешая эти неравенства относительно докажем требуемые неравенства (55).

Пользуясь составленными основными уравнениями скачка (39), (40) и (41), можно выразить изменения давления, плотности и температуры газа при прохождении его через скачок уплотнения

через начальные параметры газа и критическую скорость. Имеем по (40) и (39):

или, пользуясь формулой (54):

Аналогично найдем по (39) и (54):

и по

Используя ранее принятые обозначения числа М:

заменим в только что выведенных формулах (56), (57) и (58) квадрат критической скорости через его выражение (48); тогда после

простых выкладок получим выражения и через начальные параметры газа скачка) и число

Из неравенств (55) следует, что при этом все рассматриваемые изменения величин и будут положительны.

Чем больше отличается от единицы число тем больше будут разности и и тем интенсивнее будет скачок уплотнения. Значения числа перед скачком можно принять за меру его интенсивности.

При очень больших интенсивностях формулы (59) могут быть заменены следующими более простыми приближенными (асимптотическими) выражениями:

Вторая из этих формул еще раз подтверждает известный уже нам факт возможности сжатия газа при помощи скачка уплотнения не более чем в раз (в шесть раз в случае воздуха, для которого