§ 70. Общий случай движения твердого тела сквозь несжимаемую идеальную жидкость. Определение потенциала скоростей. Главный вектор и главный момент сил давления потока на тело

При рассмотрении внешнего обтекания твердого тела до сих пор всегда предполагалось, что или тело неподвижно, а набегающий на него поток однороден и стационарен, или же жидкость вдалеке от тела неподвижна, а тело движется сквозь нее поступательно и равномерно. Именно в этом предположении был доказан парадокс Даламбера о равенстве нулю главного вектора сил давления жидкости на поверхность тела конечных размеров.

Обратимся теперь к рассмотрению общего случая неравномерного и непоступательного движения тела сквозь несжимаемую идеальную жидкость, предполагая, что центр тяжести тела (или как-нибудь иначе выбранный полюс) движется с данным ускорением, а само тело заданным образом вращается вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс.

Основываясь на доказанной в самом начале гл. V теореме Лагранжа, можем считать движение жидкости вокруг тела безвихревым, что, вместе с условием несжимаемости, приводит, как и в случае равномерного поступательного движения, к равенству нулю лапласиана потенциала скоростей возмущения жидкости твердым телом:

Рассмотрим граничные условия. В силу непроницаемости поверхности движущегося в жидкости тела, составляющая скорости движения частиц, соприкасающихся с поверхностью а движущегося тела, по нормали к а должна в любой момент времени совпадать с нормальной составляющей скорости соответствующей точки поверхности, так как в противном случае жидкость или проникала бы сквозь поверхность тела или отрывалась бы от нее. Обозначим через скорость полюса твердого тела, а через угловую скорость тела. Тогда, по известной формуле кинематики твердого тела, скорость V любой точки тела, имеющей вектор-радиус относительно полюса будет равна:

а граничное условие на поверхности тела напишется в виде:

Здесь проекции векторов и на оси неподвижной системы координат с началом О, в данный

момент времени совпадающим с полюсом тела; проекции орта внешней нормали к поверхности а, направленной внутрь обтекающей тело жидкости.

Кроме граничного условия (78), потенциал скоростей удовлетворяет еще условию обращения в нуль при удалении на бесконечность, где жидкость покоится:

причем, как уже было показано ранее, стремление это имеет порядок или более высокий порядок.

Следуя Кирхгоффу, представим искомый потенциал как сумму

где функции предполагаются гармоническими, т. е. удовлетворяющими каждая в отдельности уравнению Лапласа, и стремящимися к нулю при удалении от тела; для выполнения граничного условия (78) функции должны на поверхности тела а удовлетворять условиям:

Задача о составлении потенциала скоростей возмущенного движения сводится, таким образом, к определению гармонических, убывающих в бесконечности до нуля функций каждая из которых, кроме того, удовлетворяет своему граничному условию (80) на поверхности о. Функции имеют простой физический смысл. Как это следует из (80), функции в каждый данный момент времени представляют потенциалы скоростей того возмущенного движения жидкости, которое возникает при поступательном движении рассматриваемого тела с единичной скоростью, параллельной, соответственно, осям или функции аналогично представляют потенциалы возмущений от чисто вращательных движений тела также с единичными угловыми скоростями вокруг осей

Представим себе теперь связанную с твердым телом подвижную систему координат которая в данный момент времени мгновенно совпадает с неподвижной системой В этой подвижной системе величины не будут зависеть от времени и, следовательно, потенциалы окажутся функциями только координат.

Первые три из этих функций могут быть разысканы приемами, изложенными в предыдущих параграфах, остальные, соответствующие

вращательным движениям, определятся как решения уравнения Лапласа, удовлетворяющие своим граничным условиям (80) на поверхности тела а, а также условиям обращения в нуль на бесконечности.

Перейдем теперь к разысканию главного вектора и главного момента сил давления жидкости на движущееся в ней твердое тело. Заключим движущееся тело внутрь некоторой неподвижной сферы очень большого радиуса с поверхностью и применим теорему количеств движения к жидкой массе, находящейся в переменном во времени объеме х между поверхностями Обозначим через К вектор количества движения жидкости в объеме через искомый главный вектор сил давления жидкости на поверхность тела о и через -главный вектор сил давления, приложенных извне к поверхности тогда будем иметь:

откуда следует, что

Вектор найдем по формуле

куда вместо давления следует, согласно интегралу Лагранжа Коши (13) (§ 36 гл. V), подставить выражение:

причем, по условию покоя жидкости на бесконечности:

функция в последнем равенстве может быть заменена на постоянную величину Отбрасывая интеграл от постоянного слагаемого получим:

Секундное изменение главного вектора количеств движения составим как сумму локальной производной количества движения в объеме х, заключенном между поверхностями и количеств движения, переносимых в единицу времени сквозь "контрольные поверхности" [вспомнить формулу (30) § 22 гл. III]:

Первый интеграл, стоящий справа, в силу равенства и известной интегральной формулы, может быть преобразован к виду:

причем знаки минус, стоящие перед интегралами по поверхности о в обеих предыдущих формулах, объясняются тем, что орт направлен внутрь жидкости, т. е. является по отношению к жидкому объему ортом внутренней нормали. Отсюда следует, что производная от главного вектора количеств движения может быть представлена в виде:

Подставляя полученные выражения и в равенство (81), получим после очевидных сокращений:

Замечая, что поверхность сферы возрастает с удалением от начала координат как а подинтегральная функция убывает как заключим о стремлении второго интеграла к нулю и в пределе при найдем окончательно:

Аналогичные рассуждения приводят к выражению главного момента сил давлений:

Действующие со стороны жидкости на тело силу и момент можно интерпретировать как секундные изменения некоторых "присоединенных" к движущемуся телу количества и момента количества движения.

Обозначим через главный вектор и главный момент количеств движения самого твердого тела, а через главный вектор и главный момент внешних сил, приложенных к телу, помимо

реакций жидкости; тогда по теоремам количеств движения и моментов количеств движения, примененным к твердому телу, будем иметь:

или, что все равно:

Сравнивая систему уравнений движения твердого тела в жидкости (85) с аналогичной системой движения того же тела в пустоте

заключаем, что движение тела в жидкости происходит так, как будто к главному вектору количеств движения его К, благодаря наличию возмущаемой телом жидкости, присоединилось добавочное количество движения

а к главному моменту количеств движения твердого тела "присоединился" добавочный момент количества движения

Уравнения движения (85) можно переписать в форме

а векторы назвать, соответственно, "присоединенными" количеством движения и моментом количества движения.