§ 11. Скорость объемного расширения жидкости. Интегральные представления дифференциальных операторов поля. Основные интегральные формулы

Деформационная часть поля скоростей характеризуется еще одной важной величиной — скоростью относительного объемного расширения в данной точке, которую можно определить как предел

где - малый объем, в котором взята точка. Эта физическая скалярная величина носит наименование дивергенции (расходимости) скоростного поля и обозначается символом так что можно написать

Чтобы не смешивать бесконечно малые приращения в пространстве с приращениями во времени, условимся в тех случаях, когда это может повести к недоразумениям, обозначать пространственные дифференциалы символом 8, временные — Тогда (58) дает

В дальнейшем часто придется находить производную по времени от элементарного объема жидкости. По (59) имеем:

Для определения величины воспользуемся приемом, идея которого восходит еще к Эйлеру. Возьмем в данный момент времени элементарную трубку тока и двумя произвольно наклонными сечениями выделим некоторый объем За время объем сместится в положение вообще говоря, изменится, причем, как легко сообразить, полное изменение объема в этом случае будет равно:

так как объем является общей частью объема трубки в начальный и следующий моменты. Проведем внешние по отношению к объему нормали и внутреннюю нормаль а также отметим векторы скоростей в сечениях Тогда будем иметь:

и, следовательно,

Рис. 9.

Возьмем теперь в поле скоростей любой конечный объем разобьем его поверхностями трубок тока на бесчисленное множество элементарных объемов при этом входные и выходные сечения заполнят всю поверхность о, ограничивающую объем Просуммируем равенства, подобные (60), по всем трубкам тока; тогда, очевидно, получим общую формулу для любого конечного объема:

Согласно (58), получим теперь следующее интегральное представление дивергенца скорости:

где — поверхность, ограничивающая малый объем заключающий в себе точку, в которой определяется при стремлении к нулю поверхность стягивается в эту точку. Замечая, что выражение

представляет секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутую поверхность До, ограничивающую объем содержащий внутри себя точку, в которой определится дивергенция, можем еще определить величину как предел отношения секундного объемного расхода жидкости сквозь замкнутую поверхность к объему, ограниченному этой поверхностью, когда поверхность стягивается к точке, в которой определяется дивергенция.

Рис. 10.

Как видно из хода доказательства, объем совершенно произволен по форме. Выберем за элементарный декартов координатный параллелепипед (рис. 10); тогда, составляя непосредственно поверхностный интеграл в правой части (62) от значения по всем шести граням (эти значения показаны на рисунке), получим:

откуда найдем искомое выражение дивергенции скорости в прямоугольных декартовых координатах:

По заданным уравнениям поля скоростей в данный момент легко вычисляется. Для облегчения запоминания формулы (63) приведем

ее символический вид

Раскрывая правую часть по правилу скалярного произведения и вспоминая (24), получим формулу (63).

Заметим, что дивергенция может рассматриваться как некоторая общая дифференциальная операция, совершаемая над любой векторной функцией и определяемая формулами (62) и (63), куда вместо вектора V надлежит вставить дифференцируемый вектор а. В этом случае уже нельзя говорить о скорости объемного расширения, а выражение

где интеграл берется по некоторой (вообще говоря, не замкнутой) поверхности а, называют потоком вектора а через поверхность . Если вектор а представляет скорость жидкости, то поток вектора а совпадает с объемом жидкости, протекающим через поверхность а в единицу времени, т. е. с секундным объемным расходом жидкости сквозь сечение а, что приводит к ранее данному определению дивергенции скорости.

В общем случае дивергенция вектора определяется как предел отношения потока вектора сквозь замкнутую поверхность к объему, ограниченному этой поверхностью, когда поверхность стягивается к точке, в которой определяется дивергенция, т. е.

Выражение дивергенции вектора а в декартовых прямоугольных координатах будет, аналогично (63), иметь вид:

Приведенный ранее вывод формулы (63) почти буквально можно повторить для элемента объема в любой системе криволинейных координат (полярных, цилиндрических, сферических и др.) и получить, таким образом, выражение дивергенции вектора-функции в криволинейной системе координат; это будет сделано далее в гл. VII.

Из формулы (62) легко выводится важная для дальнейшего интегральная формула, впервые указанная в 1834 г. знаменитым русским академиком М. В. Остроградским (1801—1861).

Разобьем любой конечный объем на большое число малых объемов обозначим поверхность, ограничивающую через через .

Тогда, согласно (62), будем иметь для элементарного объема

где малая величина, идущая к нулю с уменьшением

Просуммируем обе части равенства (65) по всем объемам образующим конечный объем; получим:

В сумме, стоящей слева, взаимно сократятся все элементы интегралов, взятые по общим границам двух соседних малых объемов, так как сама вектор-функция а в силу непрерывности имеет одинаковое значение на границе со стороны какого объема не совершался бы подход к граничащей поверхности, в то же время внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей один из малых объемов, является внутренней нормалью к той же поверхности для смежного малого объема; поэтому в рассматриваемой сумме часть слагаемых, равных между собою по величине и противоположных по знаку, сократится. Останутся лишь элементы интеграла, распространенные по внешним частям поверхности а, окружающей объем т. е. поверхностный интеграл по поверхности а. С правой стороны, если устремить к нулю малые объемы останется объемный интеграл от взятый по объему так как второй член справа, как сумма малых четвертого порядка, обратится в нуль. Таким образом, получим интегральную формулу:

или

Эта интегральная формула Остроградского выражает объемный интеграл от дифференциального оператора а векторного поля через интеграл от проекции вектора на внешнюю нормаль, взятый по поверхности, ограничивающей выбранный объем. На первый взгляд кажется странным, что при любом виде векторной функции а (подчиненной лишь ограничению непрерывности и существования первых производных по координатам) объемный интеграл, вычисление которого требует знания функции во всех точках внутри объема, выражается общей формулой через поверхностный интеграл, определяемый значениями вектора-функции лишь на поверхности объема. Дело здесь в том, что под знаком объемного интеграла стоит не сама функция, а некоторый дифференциальный оператор от нее. Аналогично, беря определенный интеграл от производной функции, получают разность

значений функции на краях интервала, независимо от того, каков был непрерывный закон изменения функции внутри интервала.

Формула (66) в декартовой системе координат принимает обычный вид формулы Остроградского:

Если положить т. е. применить формулу (66) к скоростному полю, то левая часть представит секундный объемный расход жидкости сквозь замкнутую поверхность а, а правая часть определит скорость увеличения объема жидкости со временем; естественно, что скорость увеличения объема равна секундному объемному расходу жидкости сквозь поверхность, окружающую этот объем.

Для облегчения запоминания формулы Остроградского, заметим, что равенство (66) можно представить символически так:

как будто орту внешней нормали в поверхностном интеграле соответствует дифференциальный оператор в объемном.

Из формулы (66) можно вывести одно, необходимое для дальнейшего равенство, если применить ее к произвольному, но однородному векторному полю постоянного по величине и направлению вектора а. Тогда получим

или, вынося постоянный вектор а за знак интеграла,

откуда, в силу произвольности вектора а, сразу следует, что для всякой замкнутой поверхности можно написать:

Чисто геометрическое доказательство этой формулы можно найти, например, в ранее указанном руководстве по векторному исчислению Н. Е. Кочина (изд. 1934 г., стр. 49). В геометрической трактовке формула (68) представляет предельную форму теоремы о равенстве нулю геометрической суммы векторов, представляющих площади граней замкнутого многогранника.

Покажем теперь, что и для остальных двух, ранее введенных дифференциальных операторов — градиента и вихря — можно вывести интегральные представления и интегральные формулы, аналогичные только что выведенным формулам (62) и (66).

Рассмотрим в поле скалярной функции произвольный малый объем (рис. 11) с поверхностью Да и рассечем его двумя смежными поверхностями уровня находящимися друг относительно друга на расстоянии отсчитанном по внешней нормали проведенной через точку первой поверхности уровня. Рассмотрим поверхностный интеграл

распространенный на поверхность, окружающую объем заключенный между проведенными поверхностями уровня и равный, в силу малости всех величин, произведению площади основания на высоту под знаком интеграла внешняя нормаль к поверхности интегрирования, элемент площади поверхности.

Рис. 11.

Этот интеграл может быть представлен как сумма своих элементов, рассчитанных по площадкам кроме того, интеграла по боковой поверхности, являющейся частью (пояском) поверхности Да. Будем иметь:

так как можно считать, что по боковой поверхности рассматриваемого объема о сохраняется постоянным; с другой стороны, применяя к той же поверхности формулу (68), получим

откуда сразу следует, что выражение в скобках в правой части предыдущего равенства равно нулю, а само равенство имеет вид:

Составим аналогичные равенства для всех бесконечно малых объемов, образованных из объема сечением его поверхностями уровня функции и просуммируем эти равенства по всему объему тогда в сумме

останутся лишь слагаемые, относящиеся к боковым пояскам поверх ностей бесконечно малых объемов, на которые рассечен объем т. е. не что иное, как поверхностный интеграл

Справа будем иметь объемный интеграл

который в силу малости объема будет равен

причем когда

Отсюда сразу получим (опуская ненужный уже сейчас индекс штрих) искомое интегральное представление градиента

и путем, совершенно аналогичным примененному для операции дивергенции, выведем вторую интегральную формулу:

Рис. 12.

Аналогичного типа формулы можно установить и для операции вихря. Рассмотрим в поле квазитвердого вращения жидкости с угловой скоростью равной по предыдущему [формула (51) § 10] малый цилиндр с осью, параллельной оси вращения, радиусом высотой А, объемом и поверхностью, соответственно равными и (рис. 12). Составим поверхностный интеграл от

векторного произведения орта внешней нормали к поверхности этого цилиндра на вектор вращательной скорости Тогда, выбирая, как показано на рисунке, за элемент боковой поверхности цилиндра полоску, ограниченную двумя образующими на расстоянии друг от друга, а в плоскостях оснований — симметричные элементы, убедимся, что искомый поверхностный интеграл сведется к следующему:

так как элементы интеграла по основаниям цилиндра взаимно сократятся.

Замечая, далее, что на боковой поверхности цилиндра вектор параллелен вектору и равен по величине будем иметь с точностью до малых высших порядков:

Отсюда следует точное равенство:

обобщая которое на случай любого векторного поля вектора а и произвольный закон стягивания поверхности , окружающей элементарный объем к данной точке пространства, получим следующее интегральное определение вихря вектора:

Пользуясь этим определением, легко получить выражение вихря в декартовых координатах. Для этого воспользуемся тем же приемом, что и для выражения дивергенции в декартовых координатах. Применим формулу (72) к координатному параллелепипеду с малыми сторонами (рис. 13). Тогда, проводя непосредственное интегрирование по поверхности параллелепипеда, будем иметь в силу малости граней:

Отсюда по формуле (72), переходя к пределу, будем иметь

Проектируя на отдельные оси по правилам проектирования векторного произведения, найдем:

Легко видеть, что формулы (50) являются частным случаем этих формул при

Приемом, аналогичным ранее использованному при выводе интегральных формул для дивергенции и градиента, из равенства (72) получим

Здесь, согласно правилу (51), вновь оправдывается символический прием для запоминания интегральных формул: орт в поверхностном интеграле заменяется оператором V в объемном

Интегральные формулы (66), (70) и (73) будут играть важную роль в выводе основных уравнений динамики жидкости и газа, а также и в некоторых кинематических вопросах.

Рис. 13.