§ 15. Общие уравнения динамики сплошной среды. Уравнение неразрывности. Уравнения динамики в напряжениях

Переходя к составлению общих уравнений динамики жидкости или газа, начнем с вывода уравнения неразрывности (сплошности). Будем исходить из основного закона классической механики о сохранении массы при ее движении; используя понятие индивидуальной производной, можем написать:

Желая получить уравнение неразрывности в переменных Лагранжа (§ 8), перепишем (15) в виде

где текущие значения плотности и элемента объема и начальные их значения в момент времени Представим себе элементарный объем как координатный параллелепипед в системе криволинейных координат — переменных Лагранжа тогда стороны этого параллелепипеда будут определяться направленными элементами координатных линий: равных частным дифференциалам вектора-радиуса по координатам

и но известному свойству скалярно-вскторного произведения, будем иметь:

где использовано общепринятое обозначение для якобиана.

Аналогично получим в момент времени

и, следовательно, по (15):

Это и сеть уравнение неразрывности в лагранжевых переменных; его было бы правильнее называть уравнением сохранения массы.

В частном случае жидкости постоянной плотности — несжимаемой жидкости и уравнение (16) принимает форму уравнения несжимаемости в лагранжевых переменных-.

или, полагая

В эйлеровых переменных уравнение неразрывности можно получить, производя дифференцирование в формуле (15) и используя представление о дивергенции скоростного поля как скорости относительного расширения объема [вспомнить формулу (59) § 11]:

откуда и найдем уравнение непрерывности в эйлеровых переменных

К тому же выводу можно было придти, записав закон сохранения массы для конечного объема z в виде:

производя дифференцирование, получим по предыдущему:

откуда, в силу произвольности объема интегрирования, вновь получим уравнение (18). К тому же результату можно придти, разделив обе части последнего уравнения на объем содержащий внутри себя заданную точку, и переходя к пределу при стремлении объема к нулю и стягивании его к данной точке;

В дальнейшем нам придется встречаться с двумя различными видами уравнений механики сплошной среды: 1) интегральным, выражающим связи между величинами в некоторых конечных объемах и на ограничивающих их поверхностях, и 2) дифференциальным, связывающим значения величин и их производных в данной точке. Примером уравнений в интегральной форме может служить уравнение сохранения массы (19) и в дифференциальной форме — (18).

Переход от интегрального вида уравнения к дифференциальному совершается одним из следующих двух приемов: делением обеих частей уравнения на величину объема с последующим стягиванием объема к выбранной точке пространства или сведением всех интегралов к одному объемному и приравниванием подинтегрального выражения нулю вследствие произвольности объема. Оба эти приема были только что применены при выводе уравнения (18).

Основной особенностью дифференциальной формы уравнений динамики жидкости и газа является то, что входящие в них величины представляют плотности распределения массы, объемных и поверхностных сил и т. п., а не сами величины, относящиеся к элементарному или конечному объему.

Обратный переход от дифференциальной формы к интегральной совершается умножением на элемент объема и интегрированием по конечному объему.

Интегральная форма имеет преимущество перед дифференциальной, если входящие в уравнение величины претерпевают внутри среды разрывы непрерывности. В этом случае дифференциальная форма уравнений не может быть использована во всем пространстве, заполненном жидкой средой, в то время как интегральная форма с успехом используется.

Заменяя в уравнении (18) индивидуальную производную по времени от плотности известным ее выражением через локальную и конвективную производные [§ 9, формула (41)], получим:

вспоминая затем формулу векторного анализа

окончательно найдем уравнение неразрывности в эйлеровом представлении в наиболее употребительном виде:

или в декартовых координатах:

В частном случае несжимаемой жидкости уравнение неразрывности переходит в уравнение несжимаемости.

Для вывода основного динамического уравнения движения жидкости или газа применим к объему (рис. 26) теорему об изменении количеств движения системы материальных частиц. Заметим, что главный вектор количеств движения частиц объема К равен интегралу от произведений их элементарных масс на векторы скоростей частиц V:

Рис. 26.

Приравнивая индивидуальную производную главного вектора количеств движения главному вектору внешних массовых и поверхностных сил, получим:

Индивидуальная производная от главного вектора количеств движения равна

так как на основании закона сохранения массы (15) второй интеграл пропадает.

Чтобы преобразовать поверхностный интеграл, стоящий в правой части (24), в объемный, спроектируем обе части интегральной формулы (70) предыдущей главы на ось х и положим и ней в равным попеременно тогда получим:

умножая после этого обе части первого равенства на второго на третьего — на и складывая, будем иметь:

Повторяя аналогичные выкладки с производными по получим окончательно следующую группу интегральных формул:

Пользуясь (9), перепишем поверхностный интеграл в уравнении виде:

или, по (26), окончательно:

Подставляя в (24) значения входящих в него величин, согласно формулам (25) и (27), и перенося все члены в одну сторону, получим основное динамическое уравнение движения сплошной среды в интегральной форме:

или, используя произвольность объема х и приравнивая подинтегральную функцию нулю во всех точках области движения, будем иметь то же уравнение в дифференциальной форме:

Это векторное дифференциальное уравнение, или эквивалентная ему система трех дифференциальных уравнений в проекциях:

носит наименование уравнений динамики в напряжениях и играет основную роль при выводе всевозможных частных видов уравнений динамики жидкости и газа.

Если выразить индивидуальные производные от проекций скорости по времени, входящие в левую часть уравнения (29), по (40) § 9, то уравнения (29) запишутся в развернутой форме:

Для дальнейшего существенно подробнее рассмотреть механический смысл входящего в правую часть уравнения (28) вектора

который, согласно (27), можно представить как предел

отношения главного вектора поверхностных сил, приложенных к боковой поверхности произвольно Еыбранного в данной точке элементарного объема к самому объему при стягивании поверхности к точке Этот предел можно было бы назвать главным вектором поверхностных сил, приведенным к единице объема в данной точке потока, а вектор

главным вектором поверхностных сил, приведенным к единице массы в данной точке потока.

В отличие от напряжений поверхностных сил величины и направления которых зависели от выбора направления осей координат в данной точке или направление наклонной площадки, главный вектор поверхностных сил, приведенный к единице массы или объема,

представляет однозначную векторную функцию координат данной точки пространства, не зависящую ни от выбора системы координат, ни от формы стягивающейся к точке поверхности, к которой были приложены поверхностные силы, сведенные в главный вектор. Иными словами, приведенные к единице объема или массы главные векторы поверхностных сил образуют векторное поле, в то время как сами поверхностные силы поля не образуют.

В теории электричества и магнетизма силу, с которой поле действует на "единичное тело" (единица заряда, единица магнитной массы и т. п.), помещенное в поле, называют напряжением поля; произведение напряжения поля на величину помещенного в поле "тела" (заряд, магнитная масса и т. п.) с тем или другим знаком дает вектор силы, действующей со стороны поля на это "тело" (заряд, массу).

Точно так же и главный вектор поверхностных сил, приведенный к единице массы или объема, представляет "напряжение", или, чтобы не спутать с использованным ранее термином напряжения для поверхностной силы, отнесенной к единице площади, лучше скажем, интенсивность поля главных векторов поверхностных сил в потоке. Эту величину можно было бы еще иначе назвать интенсивностью объемного действия поверхностных сил. Умножая эту интенсивность соответственно на элемент объема или массы, получим главный вектор поверхностных сил, приложенных к выбранному элементу объема или массы.

Могут быть случаи, когда при наличии поверхностных сил объемное их действие во всем потоке равно нулю, это имеет место, как в дальнейшем будет показано, например, при безвихревом движении вязкой жидкости.

Введем следующую дифференциальную операцию над тензором напряженности в предельном интегральном представлении (при стремлении к нулю как всегда, стягивается к данной точке пространства):

и назовем этот вектор дивергенцией тензора Заглавная буква в символе поставлена, чтобы подчеркнуть отличие операции от операции производимой над векторной функцией.

Как было показано в предыдущем параграфе, тензор напряженности характеризует напряженное состояние сплошной среды в данной точке.

Только что введенный в рассмотрение вектор представляет собою векторную меру неоднородности напряженного состояния среды. Этой мерой, как видно из предыдущего, служит отнесенный к единице объема главный вектор сил, приложенных к поверхности, ограничивающей выделенный в среде объем, если этот объем устремить к нулю, стягивая его боковую поверхность к рассматриваемой точке

Если тензорное поле однородно, то вектор дивергенции повсюду будет равен нулю. Обратное заключение, конечно, не имеет места: из равенства нулю дивергенции тензора в некоторой области еще не следует постоянство тензора в этой области.

Применяя принятую терминологию, можем еще сказать, что дивергенция тензора напряженности определяет вектор интенсивности объемного действия поверхностных сил в данной точке потока. Произведение вектора на элемент объема дает главный вектор поверхностных сил, приложенных к поверхности, ограничивающей элемент а интеграл

— главный вектор поверхностных сил, приложенных к замкнутой поверхности о, ограничивающей конечный объем причем по (24) и (12):

Отсюда вытекает формула

верная для любого тензора 2-го ранга и представляющая тензорное обобщение формулы Остроградского [(66) гл. I].

Задаваясь той или другой координатной формой элементарного объема можно по формуле (31) найти координатное представление вектора Так, например, примем за декартов прямоугольный параллелепипед со сторонпш тогда, поступая аналогично тому, как это уже неоднократно делалось в предыдущей главе (например, в § 11), будем иметь:

но по основному равенству (12), верному для любого наклона плошадки, и, в частности, при

следовательно, в декартовой системе координат:

или в проекциях:

Формула (33) с внешней стороны несколько напоминает выражение дивергенции вектора в декартовых координатах [формула (63) гл. I]:

однако сходство это чисто внешнее. Действительно, в формуле дивергенции тензора (33) под знаком производных стоят зависящие от выбора системы координат векторы напряжений, приложенных к площадкам, перпендикулярным осям х, у, z, а сама величина представляет физический вектор; в формуле же дивергенции вектора под знаком производных стоят алгебраические величины проекций вектора представляет физический скаляр.

Полученные формулы дивергенции тензора несколько трудны для запоминания; в связи с этим можно предложить простое символическое их выражение, основанное на символическом равенстве:

где справа стоит произведение условного -оператора с проекциями на тензор Применяя формулы (20) гл. I умножения вектора на тензор, без труда составим проекции на оси координат; для целей запоминания, наряду с формулой (34), можно предложить еще формулу (33), легко запоминающуюся по своей внешней аналогии с формулой дивергенции вектора.

Интегральная формула (32) допускает символическое представление:

Пользуясь введенным понятием дивергенции тензора, можем представить основное уравнение динамики сплошной среды (28) в форме

Применение к объему теоремы об изменении момента коли чества движения приводит к выполнению уже ранее выведенных соотношений взаимности касательных напряжений или, что все

равно, к симметричности тензора напряженности. Действительно, теорема об изменении главного момента количеств движения может быть написана так:

где вектор-радиус центров элементарных объемов и площадок к которым приложены векторы количеств движения, массовых внешних сил и внешних напряжений.

Объемный интеграл, стоящий слева, равен

Первый интеграл в правой части этого равенства обращается в нуль, так как последний интеграл равен нулю по условию сохранения массы элемента жидкости (15), так что будем иметь:

Далее, поверхностный интеграл, стоящий справа в формуле (37), легко по предыдущему преобразуется в объемный. По (9) будем иметь:

откуда по формулам (26) следует:

или, замечая еще, что

будем иметь:

Собирая теперь вместе результаты преобразований, представленные формулами (38) и (39), можем переписать основное уравнение моментов (37) в виде:

Интеграл, стоящий слева, равен нулю, так как по (28) равно нулю выражение, стоящее в скобке под знаком интеграла; отсюда, в силу произвольности объема интегрирования в правой части, получим:

после чего проектированием на оси координат нетрудно вновь получить равенства (14), выражающие симметричность тензора напряженности или теорему о взаимности касательных напряжений. Только что изложенное доказательство является не зависящим от приведенного в предыдущем параграфе и основанного на использовании частного вида объема — элементарного тетраэдра. Если же принять предыдущее доказательство и считать теорему о взаимности касательных напряжений уже доказанной, то применение георемы моментов к конечному объему приводит просто к тождеству, т. е. нового уравнения динамики не дает