§ 39. Бесциркуляционное и циркуляционное обтекания круглого цилиндра

Наложим плоский, параллельный оси х однородный поток со скоростью действительная положительная величина) и комплексным потенциалом

на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом

и составим комплексный потенциал сложного движения

Чтобы найти уравнение семейства линий тока, составим функцию тока

Полагая правую часть равной различным постоянным, найдем уравнение линий тока

Нулевая линия тока

распадается на две кривые: 1) окружность:

и 2) ось х:

Выбирая произвольную до сих пор величину момента диполя равной

получим нулевую линию тока в виде совокупности окружности Радиуса а с центром в начале координат и оси (рис. 65). стальные линии тока легко получить, задавая различные значения констант в уравнении

Полная картина движения состоит из двух областей — вне и внутри круга. Первую область можно рассматривать как обтекание круглого цилиндра радиуса а плоскопараллельным потоком, имеющим на бесконечности скорость этот поток имеет комплексный потенциал

Вторая область представляет картину течения, образуемого находящимся в начале координат диполем с моментом внутри круга радиуса а; этому потоку соответствует комплексный потенциал

Остановимся несколько подробнее на первом потоке. Найдем распределение скоростей. Имеем, по предыдущему:

По этой формуле можно найти сопряженную скорость V, а следовательно, и комплексный вектор скорости V в любой точке потока с комплексной координатой

Рис. 65.

Определим, например, распределение скоростей по контуру обтекаемого цилиндра. Для этого положим — угол между радиусом контура цилиндра и осью

и будем иметь по предыдущей формуле:

откуда определим модуль скорости на контуре круга

Из этой формулы следует, что при плоском безвихревом обтекании круглого цилиндра идеальной жидкостью скорости на его поверхности распределяются по закону синуса. В точках разветвления потока скорость обращается в нуль. Точки потока, где скорость движения обращается в нуль, называют критическими точками потока. При направлении движения, указанном на рис. 65, точка А называется "передней" критической точкой, точка В — "задней".

Скорость на поверхности цилиндра принимает свое максимальное значение при в точках миделееого сечения цилиндра; это максимальное значение скорости равно

т. е. удвоенной скорости набегающего потока (скорости на бесконечности).

Иногда приходится иметь дело с обтеканием цилиндра плоскопараллельным потоком, скорость которого направлена под некоторым углом к оси

Заметим, что в этом более общем случае комплексный потенциал обтекания будет иметь вид:

где Ко является уже не действительной величиной, а комплексным вектором, равным

Выражение комплексного потенциала (46) легко получить из равенства (44), если ввести в рассмотрение дополнительную плоскость действительная ось которой наклонена к действительной оси плоскости под углом Тогда в плоскости z скорость на бесконечности будет представляться действительной величиной и но (44) получим:

Подставляя сюда выражение через

докажем правильность формулы (46):

Обратимся теперь к рассмотрению соответствующего формуле (45) распределения давлений по контуру цилиндра. Для этого вспомним, что при безвихревом движении несжимаемой жидкости давление связано с величиной скорости формулой Бернулли [§ 36, равенство (12)]:

Константу определим из условия на бесконечности [возвращаемся к обозначению

тогда будем иметь, вводя безразмерный коэффициент давления

Из формулы (47) следует, что распределение по контуру цилиндра безразмерного коэффициента давления не зависит ни от размеров цилиндра, ни от величины скорости и давления на бесконечности. Вот почему так удобно пользоваться этим коэффициентом при изучении давления потока на поверхности обтекаемого жидкостью цилиндра. В дальнейшем будет показано, как эти свойства коэффициента давления распространяются и на тела других форм.

Вернемся к формуле (47) и условимся угол отсчитывать от передней критической точки А против часовой стрелки. Тогда график теоретического распределения согласно (47), представится нижней кривой на рис. 66. В лобовой критической точке имеем ; размерное давление в этой точке равно полному напору набегающего потока, т. е. сумме давления и скоростного напора набегающего потока. При т. е. в миделевой плоскости, коэффициент приобретает максимальное по абсолютной величине отрицательное значение В этих точках на поверхности цилиндра наблюдается максимальное разрежение. Давление здесь меньше чем (например, атмосферное при продувке цилиндра в аэродинамической трубе с открытой рабочей частью) на три скоростных напора. На участке теоретическая кривая повторяет кривую для

Экспериментально замеренное распределение давления не подтверждает эту теоретическую кривую. В зависимости от некоторых условий, о которых будет идти речь в конце курса, на опыте получаются две разных формы кривых распределения давления и II на рис. 66), но даже и более близкая к теоретической кривая I

нее же находится в резком расхождении с теорией. Причиной этого расхождения служит отсутствие в действительности безотрывного плавного обтекания цилиндра, подобного теоретическому обтеканию, показанному на рис. 65. На самом деле цилиндр представляет собою плохо обтекаемое тело. Набегающий поток, разветвившись в передней критической точке А (рис. 66), омывает поверхность цилиндра лишь до точек находящихся примерно на до миделевой плоскости — в случае кривой давлении и на в случае после чего поток отрывается, уступая место жидкости, подсасывающейся из кормовой области.

Рис. 66.

И в том и в другом случае получаются картины обтекания, далекие от безотрывного обтекания всей поверхности от передней А до задней В критических точек, предписываемого теорией безвихревого движения идеальной жидкости.

Как будет показано в дальнейшем, образовавшийся из-за наличия внутреннего трения в жидкости пограничный слой не выдерживает резкого восстановления давления при отрывается и искажает всю картину обтекания. Об этом подробно будет рассказано в главе о движении вязкой жидкости.

Выло бы, однако, неправильно сделать отсюда вынод, что теория безвихревого движения идеальной жидкости вообще не может применяться для описания действительных обтеканий. На рис. 67 приведены кривые распределения давления по поверхности двух "хорошо обтекаемых" симметричных профилей Жуковского. Один профиль имеет относительную толщину другой Как

показывают кривые, в этих случаях теория дает прекрасное совпадение с опытом. Более или менее значительное расхождение наблюдается только у толстого сорокапроцентного профиля, да и то главным образом вблизи кормовой области, где пограничный слой не удерживается на поверхности профиля и отрывается. Можно утверждать, что теоретический расчет распределения давления вполне удовлетворительно совпадает с опытом для хорошо обтекаемых тел и тем более расходится с опытом, чем толще пограничный слой, чем ближе обтекание подходит к отрывному. С этой оговоркой и следует воспринимать все последующие теоретические расчеты распределения скоростей или давлений по поверхности обтекаемых тел.

Заметим, что теоретическое распределение давлений по цилиндру не дает результирующей силы; это прямо следует из симметрии обтекания относительно двух взаимно перпендикулярных осей: оси потока и перпендикулярной к ней оси (рисунок 65). На самом деле, в действительном обтекании, как это следует из кривых I и II (рис. 66), главный вектор сил давлений будет отличен от нуля и направлен по оси течения в сторону движения набегающей жидкости. Эта равнодействующая нормальных сил, сложенная еще с равнодействующей касательных сил трения жидкости о поверхность цилиндра, даст полную силу сопротивления. Теоретическое безотрывное обтекание силы сопротивления не дает и, как в дальнейшем будет показано, принципиально дать не может.

Рис. 67.

Перейдем к рассмотрению несколько более сложного потока. Возьмем только что изученное теоретическое обтекание круглого цилиндра и наложим на него круговой циркуляционный поток вокруг вихря (42), причем сам вихрь поместим в центр контура цилиндра. Такое обтекание в отличие от предыдущего, "бесциркуляционного", будем называть циркуляционным обтеканием цилиндра. Подобный поток будет наблюдаться в действительности, если обтекаемый цилиндр вращать вокруг оси; тогда окружающая цилиндр жидкость, увлекаемая внутренним трением, придет в круговое, циркуляционное движение, которое сложится с бесциркуляционным обтеканием цилиндра и даст картину, напоминающую рассматриваемое теоретическое обтекание; основное отличие между теоретическим и действительным обтеканием произойдет из-за отрыва жидкости от поверхности, а также за счет возникновения поперечных, перпендикулярных к плоскости

теоретического течения вторичных потоков, сопровождающих в действительности циркуляционное течение.

Комплексный потенциал циркуляционного обтекания цилиндра напишем в виде

что при соответствует направлению циркуляционного движения по часовой стрелке.

Определим сопряженную скорость

и найдем положение критических точек, решая уравнение

или, что то же, квадратное уравнение

Корни его будут:

В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обтекания:

1°. Циркуляция достаточно велика, а именно

В этом случае под знаком радикала будет стоять отрицательная величина, и можно написать

Оба корня квадратного уравнения мнимы, причем модуль одного больше радиуса цилиндра, другого — меньше; действительно, корень

имеет модуль

второй корень

имеет модуль

меньший чем выражение, которое получим справа, если заменим в знаменателе на меньшую величину а, т. е.

Первый корень дает критическую точку А (рис. 68а), лежащую на отрицательной стороне мнимой оси вне цилиндра, второй — критическую точку В, лежащую на той же оси внутри цилиндра.

2°. Предельный случай

дает двойной корень

в этом случае обе критические точки попадают в одну, расположенную на контуре цилиндра в точке пересечения контура с мнимой осью (рис. 686).

3°. Наконец, в случае малой циркуляции

комплексные корни

имеют общую ординату — мнимую часть:

и отличающиеся знаками абсциссы:

также по модулю меньшие а.

Положение критических точек показано на рис. 68в. При дальнейшем уменьшении циркуляции точки будут раздвигаться, стремясь занять свои предельные положения на диаметре круга при

Неравенства

ограничивающие величину циркуляции для трех типов движения, имеют простой физический смысл. Вспомним, что в точках пересечения миделевой плоскости с мнимой осью скорости в бесциркуляционном течении равны удвоенной скорости на бесконечности, т. е. с другой стороны, при чисто циркуляционном обтекании скорости точек на контуре цилиндра равны Следовательно, при выбранном направлении циркуляционного движения по часовой стрелке при

частицы жидкости на поверхности цилиндра и в некоторой области ниже цилиндра (рис. 68а) будут двигаться вспять, а линии тока будут замкнутыми кривыми вокруг цилиндра. При (рис. 686 и в)

критические точки будут находиться на контуре цилиндра.

Рис. 68.

Как видно из рис. 68, при циркуляционном обтекании круглого цилиндра сохраняется симметрия относительно оси но нарушается симметрия относительно оси В связи с этим главный вектор сил давления жидкости на поверхность цилиндра будет отличен нуля и направлен вдоль оси Заметим, что в слоях жидкости над цилиндром скорости бесциркуляционного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилиндра складываются, а снизу от цилиндра —

вычитаются. Отсюда следует, что над цилиндром скорости больше чем снизу; это видно и по плотности линий тока — над цилиндром линии тока сгущаются, под цилиндром, наоборот, разрежаются. При этом, согласно теореме Бернулли, давление на верхней половине цилиндра меньше, на нижней — больше, следовательно, главный вектор сил давления должен быть направлен по оси вверх. Найдем величину этой, перпендикулярной к направлению движения силы Имеем

где контурный интеграл вычисляется по положительному обходу окружности. По теореме Бернулли

На контуре круга, согласно (49):

откуда

Замечая, что интеграл по замкнутому контуру от постоянной составляющей давления С, как архимедова сила в однородном поле давлений, равен нулю, получим:

Интегралы легко вычисляются; имеем:

Из всех интегралов отличен от нуля лишь второй в выражении так что:

Как и в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при циркуляционном обтекании сопротивления нет но зато появилась поперечная сила равная, по (50), произведению плотности жидкости на скорость набегающего потока и на циркуляцию. Формула (50) является частным случаем общей теоремы Жуковского, относящейся к любому обтекаемому контуру; доказательство этой теоремы будет дано ниже.

Возникновение поперечной силы при обтекании вращающегося артиллерийского снаряда набегающим воздухом было обнаружено еще в середине XVIII в.

Роторы Флетнера, представляющие собою вращающиеся цилиндрические башни, размещенные на палубе корабля, создают при наличии набегающего ветра перпендикулярную к направлению ветра силу, движущую корабль. Аналогичный эффект наблюдается на закрученных теннисных и футбольных мячах и во многих других случаях.

Как будет показано в дальнейшем, задача о циркуляционном обтекании круглого цилиндра имеет основное значение. К этой задаче будут сводиться все остальные случаи обтекания замкнутых контуров и, в частности, задача об обтекании крыла.