§ 98. Турбулентный пограничный слой на крыловом профиле при малом продольном перепаде давлений

Пользуясь ранее выведенным (уравнение (91) § 87] интегральным соотношением (уравнением импульсов)

можно разработать простой приближенный метод расчета основных величин турбулентного пограничного слоя на крыловом профиле малой относительной толщины и вогнутости при движении его с малыми углами атаки (малые

С этой целью умножим обе части уравнения (61) на некоторую функцию рейнольдсова числа и введем обозначения:

Уравнение (61) при этом примет вид:

Первый член можно преобразовать так:

Вводя обозначение

найдем из предыдущего уравнения:

Исключим отсюда величину пользуясь равенством (63); тогда получим:

или, после раскрытия производной в левой части,

где для краткости введено обозначение

Уравнение (65) представляет турбулентный аналог известного уже нам из теории ламинарного пограничного слоя уравнения (95) § 87, которое легло в основу приближенных методов расчета ламинарного слоя.

Если положить функцию равной

то, согласно (62), станут равными своим ламинарным аналогам (96) и (97) § 87, величина примет значение и уравнение (65), так же как и функция перейдет в известные соотношения ламинарного пограничного слоя (95) и (97) § 87. В случае ламинарного пограничного слоя умножение величин и на делало их независимыми от рейнольдсова числа, причем первая при этом превращалась в основной, характеризующий форму профилей скорости в сечениях слоя параметр а вторая — в функцию от этого параметра, который можно было бы назвать формпараметром. Предположим, что и в случае турбулентного пограничного слоя существует функция обладающая аналогичным свойством, так что величина определенная первым из равенств (62), будет формпараметром, а величина С — функцией формпараметра. Точно так же и величину будем рассматривать, как функцию формпараметра Сделав эти допущения, остается найти вид функции Исходя из аналогии с ламинарным пограничным слоем, для которого множитель согласно (97) § 87, при будет равен:

т. е. является величиной обратно пропорциональной местному коэффициенту трения на пластине, обобщим этот результат на случай турбулентного пограничного слоя, положив, что при всех значениях вид функции совпадает с таковыми для пластины

причем берется действительное для крылового профиля.

Пользуясь для простоты равенством (51), будем иметь искомое выражение для функций

подчеркнем еще раз, что только форма функции взята из закона сопротивления для пластины, аргумент же предполагается взятым для соответствующего сечения пограничного слоя на рассматриваемом крыловом профиле.

Приняв для определения функции равенство (67), получим для по (64) постоянную величину:

так что функция будет равна:

Если крыловой профиль не слишком толст и вогнут, а обтекание происходит на малых углах атаки при малых коэффициентах подъемной силы то движение в пограничном слое будет происходить при малых продольных перепадах давления и скоростей внешнего потока, а следовательно, при малых значениях величины В этом случае не произойдет большой ошибки, если в равенстве (68) заменить их значениями при Согласно (62) и (66) имеем:

Величина может быть принята равной для сравнительно малых рейнольдсовых чисел и -для больших [вспомнить равенство (55) предыдущего параграфа]. Тогда величина, заключенная в круглой скобке правой части (68), будет иметь значение, заключенное в пределах Функцию (68) можно заменить, таким образом, на линейную функцию:

с коэффициентами равными:

Уравнение (65) приводит к простой квадратуре для неизвестной функции

Если принять ламинарный участок на поверхности крылового профиля отсутствующим, то будем иметь просто:

если же учитывать наличие ламинарного участка в интервале абсцисс то выражение для несколько усложнится и примет вид:

здесь представляют значения в точке перехода причем вычисляется по формуле (62):

Окончательно будем иметь:

Согласно принятому уже ранее для пластины условию смыкания ламинарного и турбулентного пограничного слоя, величина может быть рассчитана по теории ламинарного пограничного слоя.

Пользуясь формулами (70) или (72), найдем после чего, согласно (62), получим следующее уравнение для определения (или а

Так, например, для полностью турбулентного пограничного слоя на всей поверхности профиля будем иметь по (67) и (70):

Выполнив квадратуру, определим а следовательно, и

В принятом приближении согласно второму равенству системы (62), найдем:

Определив или как функции от х, вычислим коэффициент сопротивления трения крыла в целом. Для этого остается просуммировать по всей поверхности крыла проекции элементарных сил трения на направление набегающего потока.

Для дальнейшего представит еще интерес определение толщины вытеснения В принятом приближении величина может быть определена как

величины, стоящие в скобках, показывают границы значения при различных значениях рейнольдсова числа натекания: первое соответствует высшим значениям, второе — низшим.

Все изложенное выше предполагает, что для рассматриваемого случая обтекания наперед задано распределение скоростей на внешней границе пограничного слоя. Вспомним, что теоретическое распределение скорости, получаемое из условия безвихревого обтекания крылового профиля идеальной жидкостью, приводит к полному восстановлению давления и обращению скорости в нуль на задней кромке профиля. При этом, как показывают предыдущие формулы, величины обращаются в бесконечность.

Как будет доказано в дальнейшем (§ 100), на самом деле, благодаря наличию явления оттеснения линий тока от поверхности крыла, в действительном течении такое восстановление давления и обращение в нуль скорости не имеет места; там же указывается путь избежания этого недостатка теории.

Изложенный упрощенный прием расчета пограничного слоя пригоден лишь для режимов обтекания крыловых профилей, не связанных с отрывом турбулентного слоя. Этот прием может с успехом применяться, например, для расчета сопротивления крыла самолета на режиме максимальной скорости, но совершенно не пригоден для расчета посадочных режимов. Этот же прием полезен для расчета сопротивления решетки профилей, имитирующей рабочее колесо турбины, но не достаточен для аналогичного расчета компрессорной решетки, отдельные профили которой работают обычно на режимах, близких к отрывным.