§ 41. Плоское движение с отрывом струй. Разрывное обтекание пластинки и протекание жидкости сквозь отверстие

В предыдущем параграфе уже указывалось, что жидкость не может обтекать острые кромки тел. Образующиеся в этих точках бесконечные скорости вызывают физически невозможные бесконечные отрицательные давления; на самом деле жидкие струи отрываются с острых кромок, создавая сложные вихревые движения. Простейшая схема безвихревого описания такого рода движений приводит к необходимости отказа от основной гипотезы непрерывности поля скоростей и введения в рассмотрение линий разрыва скоростей, которыми служат сорвавшиеся с острых кромок линии тока.

Идея этой схемы, предложенной впервые Гельмгольцем в классической монографин "О разрывных течениях жидкости", относящейся к 1868 г., заключается допущении, что сорвавшиеся с острых кромок линии тока — так называемые свободные линии тока — уходят на бесконечность, ограничивая за телом бесконечную мертвую зону покоящейся жидко» Если отвлечься от влияния объемных сил, то давление внутри "мертвой зоны" будет повсюду одинаковым. Как легко сообразить, оно будет одинаковым и на границах зоны, на "свободных линиях тока. Отсюда, по теореме Бернулли, примененной к свободным линиям тока со стороны движущейся жидкости, следует, что вдоль свободных линий тока скорость сохраняет постоянную величину. Нулевая линия тока (рис. 81) приходит в критическую точку О» где разветвляется на две линии тока, расположенные на поверхности обте» каемого тела. В точках соответствующих острым кромкам, линии тока сходят с тела и образуют две свободные линии тока и вдоль которых давление равно давлению в "мертвой зоне", а скорости постоянны. В атом отличие свободной линии тока от твердой стенки, которая также может рассматриваться как линия тока, но с переменными, как правило, давлением и скоростью,

Рис. 81.

Гельмгольц указал на простой класс примеров построения таких отрывных обтеканий со "свободными" линиями тока и "мертвыми зонами".

Рассмотрим следующую дифференциальную связь между комплексной координатой z и комплексным потенциалом

где пока произвольная функция комплексного потенциала Пользуясь независимостью производной от направления дифференцирования, можем написать дифференциальное уравнение линий тока в виде:

По предыдущему [равенство (39) § 37]:

откуда

На свободной линии тока, где скорость постоянна, должно выполняться условие

Предположим теперь, что функция при некоторых значениях иными словами на некоторых линиях тока, принимает только действительные значения. Тогда в области значений при которых правая часть равенства (68) будет иметь действительное значение, так что уравнение (68) приведется к системе:

Из второго уравнения этой системы следует, что рассматриваемый участок линии тока состоит из отрезков, параллельных оси

Часть линий тока, представленная системой равенств (70), не удовлетворяет условию (69), следовательно, эти отрезки линий тока не являются "свободными".

Возьмем теперь ту часть лииий тока, на которой По (68) будем иметь:

Эта часть линий тока удовлетворяет условию (69) и, следовательно, является свободной линией тока.

Различные функции удовлетворяющие только что указанным условиям, будут давать примеры отрывных обтеканий. Среди них можно выделить некоторые, представляющие практический интерес. Конечно, такой метод решения задач нельзя назвать "прямым", так как не дает возможности

непосредственного получения обтекания наперед заданных контуров. Прямой метод требует применения метода конформных преобразовании. Положим, например,

Эта функция действительна только при кроме того при При функция принимает чисто мнимые значения. Имеем по (68) при

что дает или, в силу произвольности выбора начала это — положительная часть оси в чем легко убедиться, проинтегрировав второе уравнение при — .

Далее, на той же линии тока при согласно (68), будем иметь:

Из этой системы равенств следует:

где константы интегрирования выбраны так, чтобы в начале координат бьгло:

Равенство (72) показывает, что участок линии тока представляет отрезок (рис. 82а) оси между точками с абсциссами, соответствующими двум значениям корня

Наконец, в области значений будем иметь дифференциальные уравнения свободных линий тока и

которые интегрируются в конечном виде и дают

Уравнение свободной линии тока будет

При так же как и при имеем

Подчеркнем, что скорости на острых кромках, где происходит сход с пластинки свободных линий тока, равны единице, а не бесконечности, как это имело место при безотрывном обтекании.

Полученное решение определяет разрывное обтекание пластинки шириной и набегающим на нее нормальным потоком, имеющим скорость на бесконечности, равную единице (рис. 82а).

Рис. 82.

Легко найти полную силу давлений жидкости на пластинку. Со стороны набегающей жидкости на участке пластинки действует давление которое по теореме Бернуллн равно (примем

со стороны «мертвой зоны» давление равно причем

Разность давлений, действующих на элемент с обеих сторон пластинки, будет, согласно (72),

Элемент длииы пластинки по (72) равен

так что элементарная результирующая сила давлений будет:

Отсюда, в силу симметрии обтекания относительно осн найдем полную силу давления в виде

Представим силу сопротивления в плоском движении в общей форме:

где С — коэффициент сопротивления, плотность жидкости, величина скорости на бесконечности, характерный размер обтекаемого тела в плоскости течения (ширина пластинки в рассматриваемом сейчас случае); единица, стоящая в конце формулы сопротивления, напоминает, что сила сопротивления рассчитывается на единицу длины в направлении, перпендикулярном к плоскости течения. Сравнивая между собою последние две формулы, получим уравнение для определения С:

откуда найдем:

так что в общем случае обтекания пластинки ширины жидкостью с плотностью при скорости набегающего потока будем иметь формулу сопротивления

Заметим, что полученная теоретическая формула дает значение сопротивления, в два раза меньшее действительного, хотя распределение давления по передней части пластинки близко к опытному. Объяснение этого факта лежит в неучете вихревых явлений в "мертвой зоне" (рис. 82 в), уменьшающих среднее давление на тыльную часть пластинки и тем самым увеличивающих сопротивление.

Если сравнить только что разобранное разрывное обтекание пластинке с непрерывным (55), имеющим комплексный потенциал

то можно заключить, что симметричное относительно обеих осей координат непрерывное обтекание с бесконечными скоростями на острых краях пластинки (рис. 82 6) должно давать сопротивление, равное нулю, и распределение

давлений, резко отличающееся от экспериментального. Простое сравненнс картин обтекания (рис. 82 а и б) со схемой действительного обтекания (рис. 82 в) показывает, что применение теории разрывного потенциала дает Оолее правильную форму течения, чем теория непрерывного потенциала.

Следует подчеркнуть, что разрывные картины обтекания с кинематической стороны ближе подходят к опыту, чем с динамической. Общий вид линий тока и распределение скоростей вне мертвой зоны обычно получаются весьма схожими с реальным обтеканием, силовые же характеристики, зависящие от структуры потока в мертвой зоне и наличия сил трения, получаются, как правило, резко заниженными. Подтвердим это заключение еще одним характерным примером.

Рассмотрим функцию

сохраняющую действительное значение при имеющую чисто мнимое значение при

Составляя вновь основное дифференциальное уравнение (68)

будем иметь для линии тока

это — линия которую выбором положения осей координат можно принять за ось Вдоль этой линии скорость не остается постоянной: при со скорость равна нулю, при единице; следовательно, лнния тока не «свободная».

Линии тока соответствует дифференциальное уравнение

Если то подкоренное выражение не отрицательно и уравнение (73) приводится к системе двух уравнений:

Интегрируя, найдем:

где а неопределенная константа интегрирования, а линия тока выбрана за ось х. Определим, какая часть совпадает с рассматриваемым участком линии тока Для этого заметим, что:

Это означает, что отрезок линии тока соответствующий представляется отрицательной стороной оси причем пока можно только утверждать, что так как в противном случае линия тока пересеклась бы с линией тока

Рис. 83.

При уравнение (73) даст систему дифференциальных уравнений свободной струи:

Интегрируя и определяя константы из условия непрерывного перехода предыдущего участка линии тока в свободную линию, найдем:

Кривая выходит точки по касательной к оси и опускается вниз, стремясь при к асимптоте , причем по условию непересекаемости линий тока Аналогично ведет себя и свободная лииия тока являющаяся зеркальным отображением динии в оси (рис. 83 а).

Чтобы найти положительную постоянную а, заметим, что расход через полное сечение струи, по определению функции тока [формула (28), § 27], будет равен я; с другой стороны, при удалении от выходного отверстия в сечениях струи асимптотически устанавливается однородный поток со скоростью, равной единице; отсюда следует

Полученная картина течения представляет, таким образом, вытекание жидкости из безграничного горизонтального резервуара сквозь отверстие ширины Как видно из рисунка, струя при выходе из отверстия сжимается, причем коэффициент сжатия струи равен

Эта цифра с большой точностью совпадает с действительно наблюдаемым значением коэффициента сжатия при плоских истечениях водяной струи в воздух. На рис. 83 б приведена для сравнения другая теоретическая картина вытекания жидкости, рассчитанная при помощи непрерывного комплексного потенциала, который легко получить из (57), если поменять местами линии тока и изопотенциальные линии; для этого, как известно, достаточно заменить х на

Будем иметь для отверстия с полушириной, равной единице,

Линиями тока являются гиперболы, причем в точках отверстия в отличие от разрывного вытекания, скорости обращаются в бесконечность а давление — в отрицательную бесконечность, что физически невозможно. При одном взгляде на обе картины течения сразу видно преимущество разрывного течения, почти точно отражающего действительную картину истечения.