§ 93. Основные уравнения осреднеиного турбулентного движения. Тензор турбулентных напряжений

На рис. 187 показаны осциллограммы колебаний скорости в различных точках потока перед продольно обтекаемой пластинкой и внутри пограничного слоя на ней. Электрический измеритель скорости был неподвижен, а поток набегал на него со средней скоростью

Верхняя осциллограмма показывает чрезвычайно малые по амплитуде пульсации скорости во внешнем потоке, не превышающие 0,5% от скорости набегающего потока, причем частота их, судя по шкале времени, велика. Эта осциллограмма 1 дает общее представление об установившемся турбулентном воздушном потоке в аэродинамической трубе. Если бы измерительный прибор не был так точен, пульсации скорости остались бы незамеченными, и поток в трубе мог быть назван стационарным. Следующая осциллограмма относится

к точке пограничного слоя, находящейся на расстоянии 20 см от передней кромки пластинки. На самой кромке образуются возмущения (типа завихрений); они интенсивны, но, перемещаясь вдоль пограничного слоя, который в этой области устойчив и ламинарен, быстро затухают; эти пульсации, имеющие сравнительно небольшую частоту и довольно регулярный характер, напоминают малые колебания потока около устойчивого движения. Такое представление хорошо подтверждается следующей осциллограммой 3, зарегистрированной прибором, находящимся в пограничном слое на расстоянии 50 см от носика пластинки. Возмущения от носика затухли, только изредка приходят отдельные, очень значительные по интенсивности возмущения, не нарушающие, однако, общего ламинарного характера пограничного слоя.

Рис. 187.

Природа этих возмущений связана, повидимому, с началом потери устойчивости, так как осциллограмма 4 в точке на 60 см от носика уже носит явно переходный характер. Наконец, на расстоянии от носика пластинки, превышающем 100 см, наблюдается (осциллограмма 5) типичная турбулентная картина пульсаций большой частоты и довольно значительной интенсивности (3-4%).

Приведенныеосциллограммы 1 еще раз подтверждают изложенные в предыдущем параграфе общие представления о явлении перехода ламинарного слоя в турбулентный. Вместе с тем они имеют для нас и самостоятельное значение. Из этих осциллограмм непосредственно видно, что, описывая турбулентное движение приемом Эйлера, т. е.

регистрируя во времени скорости потока в данной точке пространства, можно положить:

где действительные мгновенные скорости потока в данной точке, осредненные во времени скорости, а отклонения действительных скоростей от осредненных, которые будем называть пулъсационными скоростями или, короче, пульсациями. Будем в дальнейшем предполагать, что в развитом турбулентном движении пульсации очень малы по сравнению со средними скоростями потока и что величины осредненных скоростей мало зависят от способа осреднения. Условимся обозначать черточкой, поставленной над величиной, среднее ее значение, определенное, как обычное интегральное среднее

за промежуток времени называемый периодом осреднения.

Будем предполагать, что для каждого рассматриваемого турбулентного движения существует такой, достаточно большой по сравнению с периодом пульсаций, но малый по сравнению с характерным для осредненного движения интервалом времени (периодом колебательного процесса, временем прохождения телом своей длины или др.), не зависящий от времени период осреднения что приведенное сглаживание во времени (3) приводит к осредненной величине, при повторном сглаживании уже не изменяющейся. Это значит, что

Если в результате осреднения (3), проведенного в данной точке в разные моменты времени будут получаться одни и те же значения то такое осредненное движение называется стационарным, а само турбулентное движение квазистационарным.

Предположение (4) эквивалентно утверждению о равенстве нулю средних значений пульсаций величины к, равных

Действительно, в силу линейности операции осреднения (3) и равенства (4), имеем:

В дальнейшем придется иметь дело исключительно с квазистационарными турбулентными движениями. В этом случае осредиенное

значение будет функцией только координат, так что, если означает еще одну пульсирующую функцию времени и координат, то, согласно (3), получим [черта сверху означает операцию осреднения (3), проведенную над всем выражением, стоящим под этой чертой]:

Если турбулентное движение не квазистационарно, то равенство (6) приходится постулировать как дополнительное свойство осреднения (3).

По определению осреднения (3) сразу следует, что среднее значение производной от некоторой функции по координате равно производной от среднего значения функции по той же координате

так как операции дифференцирования по координате и интегрирования по времени независимы. Таким же свойством обладает и производная по времени. Действительно, по известной формуле дифференцирования интеграла с переменными пределами получим:

и, следовательно,

Пользуясь частью постулированными, частью выведенными из определения закона осреднения (3) свойствами, можно получить дифференциальные уравнения осредненного движения несжимаемой жидкости. Возьмем для этой цели основную систему (14) гл. VIII уравнений

движения вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил:

и, пользуясь уравнением несжимаемости, перепишем первое из уравнений системы (9) в виде:

Произведем над обеими частями этого равенства операцию осреднения (3), тогда, согласно (7) и (8), при будем иметь:

Рассмотрим входящие сюда средние значения от произведений проекций скорости. Заменим в них разложениями на осредненные и пульсационные скорости (2), тогда по определению операции (3) и (6) будем иметь:

или, используя (5):

Уравнение (9) может быть после этого переписано в форме:

Замечая, что осреднение уравнения несжимаемости дает

перепишем предыдущее уравнение в виде:

Повторяя совершенно аналогичные преобразования с остальными двумя динамическими уравнениями (9), получим искомую систему дифференциальных уравнений осредненного движения (уравнения Рейнольдса):

Сравнивая эти уравнения с общими уравнениями "в напряжениях" (30) гл. II:

можем представить себе правые части системы (11), как результат подстановки в уравнения "в напряжениях" на место величин суммы вязких напряжений, определенных обобщенным законом Ньютона, и дополнительных турбулентных напряжений, возникших за счет наличия в потоке пульсаций:

причем дополнительные турбулентные напряжения образуют, так же как и вязкие напряжения, свой симметричный тензор второго ранга:

Итак, приходим к выводу: уравнения осредненного турбулентного движения могут быть написаны в той же форме, что и уравнения действительного движения, если только, помимо вязких (ньютоновских) напряжений, учесть еще дополнительные турбулентные напряжения.

Система уравнений (11), состоящая из четырех уравнений, содержит в себе, кроме четырех неизвестных — давления и трех проекций осредненной скорости, — еще шесть неизвестных турбулентных напряжений относительно которых остается сделать какие-то дополнительные предположения; в противном случае система (11) будет неопределенной.

Уравнения Рейнольдса (11), так же как и входящие в них компоненты турбулентных нанряжений, можно было бы представить в любой системе криволинейных для дальнейших целей достаточно уравнений в декартовых координатах.

Если попытаться подчинить турбулентные напряжения закону, представляющему аналог обобщенного закона Ньютона, то, например, в случае плоского прямолинейного и параллельного оси х осредненного движения со скоростью и, являющейся функцией только от у, будем иметь:

Величину А можно при этом рассматривать как коэффициент некоторой воображаемой "турбулентной" вязкости, обусловленной не микропереносом количеств движения молекул, а возникающим между слоями осредненного движения за счет поперечных пульсаций макропереносом количеств движения конечных объемов жидкости, и назвать коэффициентом турбулентного обмена. Если в данном частном случае движения в плоской трубе предположить, что А есть некоторая постоянная величина и, подсчитав сопротивление трубы, подобно тому, как это было сделано ранее в случае ламинарного движения, непосредственно измерить действительное сопротивление и сравнить

результаты между собой, то полученные таким образом величины А окажутся в десятки тысяч раз превосходящими величину коэффициента молекулярной вязкости Образно говоря, коэффициент турбулентной вязкости А воздуха оказывается равен коэффициенту обычной молекулярной вязкости сиропа, а соответствующий кинематический коэффициент турбулентной вязкости кинематическому коэффициенту молекулярной вязкости сапожной ваксы.

Однако измерения показывают, что величина А, кроме того, в отличие от не является постоянной, характерной для жидкости или ее турбулентного движения. Коэффициент А резко меняется по сечению трубы очень малых значений вблизи стенки трубы до некоторого максимума примерно на расстоянии полурадиуса трубы от ее стенкн и затем вновь убывает до некоторого минимума на оси трубы.

Рассматривая осредненное движение в трубе, можно написать выражение полного касательного напряжения "трения", понимая под последним как ламинарное (молекулярное), так и турбулентное трение, в виде:

Только в непосредственной близости к стенке трубы слагаемое сравнимо по величине с А, причем на самой стенке и напряжение трения совпадает с принятым в теории ламинарного движения (см. предыдущую главу) выражением

При удалении от стенки величина А очень быстро возрастает, доходя до тех больших значений, о которых была речь ранее. В связи с этим почти повсюду в потоке, исключая только область, непосредственно прилегающую к стенке трубы, можно пренебрегать вязкими напряжениями по сравнению с турбулентными; в дальнейшем этим выводом придется пользоваться постоянно.

Подчеркнем, что высказанное положение совсем не означает возможности вообще пренебрегать вязкостью жидкости в турбулентных процессах; дело идет лишь о пренебрежении членами вида по сравнению с где осредненная скорость. Влияние же

вязкости на внутренние процессы (затухание и зарождение возмущений, нагрев потока и др.) сохраняет чрезвычайно важное значение в любом пункте турбулентного потока.

Предположение (13) (или аналогичные предположения, относящиеся к турбулентным потокам общего типа) содержит величину "коэффициента турбулентного обмена" А в качестве переменной по сечению трубы неизвестной величины, нуждающейся для своего определения в дополнительных теоретических соображениях.

Современная измерительная техника в гидроаэродинамике позволяет получать не только осредненные по времени и пространстве, но и мгновенные значения скоростей и давлений.

Пример такого рода замеров был показан в начале настоящего параграфа (рис. 187).

В дальнейшем при сравнении результатов теоретических расчетов осредненного турбулентного движения с опытными материалами всегда в скрытом виде будет предполагаться, что пространственно-временное осреднение, производимое приборами, совпадает с принятым законом осреднения (3). Конечно, такое предположение является новым дополнительным допущением и может вызвать сомнение в возможности сравнении результатов теоретических расчетов турбулентных течений и опытных замеров. Этот факт, а также встречающаяся в дальнейшем необходимость принятия ряда других дополнительных допущений, возникающая по ходу изложения теоретических методов расчета турбулентных потоков, накладывает на все содержание настоящей главы общий отпечаток незаконченности и нестрогости. На современном этапе своего развития динамика турбулентного движения является, без сомнения, одним из наиболее эмпирических разделок теоретической гидроаэродинамики. Актуальность практических приложений теории турбулентного движения, относящихся к самым разнообразным разделам современной техники, заставляет исследователя не пренебрегать и такими эмпирическими путями.