§ 17. Общие уравнения равновесного состояния жидкости и газа. Равновесие воздуха в атмосфере. Приближенные барометрические формулы. Стандартная атмосфера

Согласно основному свойству жидкостей и газов — легкой подвижности, — при равновесии отсутствуют касательные силы сопротивления взаимному скольжению жидких объемов друг по отношению к другу по площадкам их соприкосновения, а действуют лишь нормальные к этим площадкам силы.

Таким образом, при равновесии жидкости или газа векторы напряжений, приложенные к трем координатным и одной наклонной к ним площадке (§ 14), будут равны:

а касательные компоненты напряжений равны нулю:

Подставляя значения напряжений в основную систему равенств (10), найдем:

откуда сразу следует

Общее значение нормальных напряжений, приложенных в данной точке жидкости к площадке любого направления, назовем давлением в данной точке жидкости или газа и обозначим через в знак того, что вектор напряжения направлен противоположно орту нормали к площадке:

что соответствует сжатию выделенного объема. Давление такой же физический скаляр, как плотность, температура и др.

Тензор напряженности при равновесии среды имеет таблицу.

Симметричный тензор компоненты которого отвечают условиям:

называют единичным тензором или тензорной единицей. Последние равенства должны выполняться, очевидно, независимо от выбора системы координат, т. е. единичный тензор должен оставаться единичным при любом направлении взаимно перпендикулярных декартовых осей координат; это можно было бы показать и непосредственно на основании формул преобразования компонент тензора при изменении направления осей координат (см., например, ранее цитированный курс векторного и тензорного исчисления Н. Е. Кочина).

Формула (12) вместе с (52) и (53) дает очевидную систему равенств:

из которых, между прочим, видно, что

так что умножение орта на тензорную единицу приводит к тому же вектору, — общее свойство умножения любого вектора на тензорную единицу, в чем легко убедиться, проделав операцию умножения по ранее установленному в гл. I правилу (20),

Чтобы вывести уравнения равновесия среды, т. е. ее относительного покоя, рассмотрим уравнения движения, частным случаем которых при равенстве нулю всех скоростей должны являться уравнения равновесия.

Уравнение неразрывности (22) сведется при этом к первому условию равновесия

т. е. к стационарности поля плотностей среды.

Уравнения в напряжениях (29) на основании таблицы (53) дают следующую систему основных уравнений равновесия среды

называемых уравнениями Эйлера равновесия жидкости или газа. Система (56), очевидно, эквивалентна одному векторному уравнению

которое можно было и сразу вывести из (37), заметив, что но (53), (31), (55) и интегральной формуле (70) гл. I:

Наконец, уравнение баланса энергии (45) дает тепловое условие равновесия жидкости или газа

которое, при наличии только теплопроводности приводится но (48) к уравнению:

а при возможности считать коэффициент теплопроводности постоянным [см. формулу (49)] к уравнению:

где постоянный коэффициент а называют коэффициентом температуропроводности.

Рассмотрим подробнее основное уравнение равновесия в векторной форме (57). Простыми операциями из него можно исключить плотность и давление. Для этого возьмем сначала от обеих частей векторного равенства (57) операцию вихря тогда пропадет, так как будем иметь

или, раскрывая скобки по известному правилу векторного анализа, получаем

Умножим теперь обе части этого равенства скалярно на тогда, заметив, что второе слагаемое, как векторное произведение, перпендикулярно своему сомножителю найдем следующее общее ограничение, накладываемое на класс сил, под действием которых возможно равновесие жидкости или газа:

или, в проекциях на оси декартовых координат:

К числу объемных сил, удовлетворяющих условию (62), относятся прежде всего силы, имеющие потенциал 11, так как для них

В этом случае, как легко усмотреть из равенства (61),

откуда следует, что силовые линии поля потенциальных объемных сил ортогональны изостерам (поверхностям одинаковой плотности), а также, что изостеры совпадают с изопотенциальными поверхностями силового поля.

Из (57) следует еще, что при равновесии среды силовые линии перпендикулярны изобарам (поверхностям одинакового давления). Таким образом, вообще, при равновесии жидкости или газа под действием потенциального поля объемных сил изопотенциальные поверхности поля совпадают с изобарами и изостерами.

Можно доказать и обратное предложение: если изобары совпадают с изостерами, то равновесие жидкости или газа, возможно только под действием потенциального поля объемных сил. Действительно, по условию,

или по (57)

отсюда, на основании (61), вытекает

Ихли в движущемся или покоящемся газе плотность является функцией только давления, то такой процесс движения или равновесия называется баротропным. Из предыдущего следует, что баротропное равновесие газа возможно при наличии только потенциальных сил, так как при условии изобары и изостеры, очевидно, совпадут; следовательно, как только что было показано, силовое поле должно быть потенциальным.

Более общее условие (62) имеет смысл требования существования в силовом поле поверхностей, ортогональных к силовым линиям, причем эти поверхности в общем случае не должны совпадать с изостерами.

Система уравнений (57), как уравнений в полных дифференциалах, представляет лишь одну связь между двумя неизвестными величинами уравнение - также одно уравнение с двумя неизвестными Чтобы сделать систему уравнений равновесия определенной, необходимо добавить еще уравнение состояния газа, называемое обычно уравнением Клапейрона:

и уравнение зависимости коэффициента теплопроводности от температуры:

Если равновесие баротропно, то

Это имеет место, например, в следующих случаях:

1) газ несжимаем, т. е. имеет повсюду одинаковую плотность

2) равновесие изотермическое, при котором

а следовательно, по (64):

3) равновесие адиабатическое (без притока тепла извне), отвечающее известной из курса термодинамики адиабате:

где показатель адиабаты, равный отношению теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме с; для воздуха Значения величин относятся к какой-нибудь одной характерной точке покоящегося газа.

Задача сводится, таким образом, к решению уравнений (57) и (59) при тех или иных дополнительных связях между термодинамическими элементами и

Останавливаясь лишь на случае баротропного равновесия газа в потенциальном силовом поле, напишем уравнение равновесия в виде:

Введем в рассмотрение функцию давления

градиент ее по (70) равен:

При баротропности равновесия газа функция давлений играет роль потенциала или потенциальной энергии поля отнесенных к единице массы главных векторов поверхностных сил, сводящихся в случае равновесия к силам давления. Можно сказать также, что функция давлений представляет потенциальную энергию интенсивности объемного действия поля давлений.

Действительно, в полном соответствии с обычной связью между векторным силовым полем и его потенциальной энергией, имеем по (70):

Итак, при баротропном равновесии среды объемное действие среды на выделенное в ней "единичное тело" (единицу объема или массы) образует потенциальное поле с потенциалом, зависящим только от характера баротропности процесса.

Уравнение равновесия (69) может быть переписано в форме

откуда следует, что при равновесии среды во всех точках ее выполняется равенство

В качестве иллюстрации рассмотрим приближенные уравнения равновесия атмосферы под действием силы тяжести. В этом случае, направляя ось z вертикально вверх и помещая начало координат на уровне моря, будем иметь некоторая высота над уровнем моря):

Функция для изотермического случая будет определяться на «сновании (66) так:

Условие приближенного равновесия атмосферы между пунктами по (71) можно написать в виде:

где значения давления и плотности на высотах и над уровнем моря. Формула (73) представляет простейшую

барометрическую формулу, позволяющую приближенно определят), высоту пункта над уровнем моря по измеренному барометром давлению в этом пункте, если известны при

Полагая можем придать формуле (73) простой вид:

Формулу (73) или (73) можно применять с большой точностью, если разбить весь интервал ее применения на малые промежуточные интервалы и в начале каждого следующего интервала пользоваться новым значением отношения исправленным на новую температуру но формуле

и новым значением вычисленным по (73) из равенства

Обычно поступают несколько проще. Обозначим разность двух близких высот через разность соответствующих им давлений через тогда равенство (73), согласно (66), примет вид:

где под будем понимать среднюю температуру воздуха в интервале

Отсюда найдем

или, пользуясь разложением логарифма в ряд,

Можно еще перейти от абсолютных температур к обычным по формуле

и получить приближенную формулу:

Замечая, что для сухого воздуха

приведем формулу (74) к такому окончательному виду:

удобному для практических измерений.

При технических расчетах пользуются обычно так называемой стандартной атмосферой, согласно которой в нижних слоях атмосферы — в тропосфере температуру принимают падающей значения 15° С вблизи уровня моря на на каждый километр, а давление на уровне моря — равным 760 мм рт. ст. В стратосфере температура считается одинаковой и равной -56,5° С.

Формулы расчета для тропосферы получаются из следующей системы уравнений:

где газовая постоянная для сухого воздуха равна

Интегрирование этой системы уравнений не составляет труда. Имеем:

Отсюда следует атмосферное давление на уровне моря, принимаемое равным 760 мм рт. ст.), что

или, подставляя числа,

Для стратосферы начальная температура принимается равной — 56,5°С и интегрирование проводится так же, как и для изотермического случая.

Не составляет труда получение барометрической формулы и для адиабатического равновесия.

В этом случае, обозначая через и — давление и плотность на уровне моря по (68) и (70) легко найдем

после чего по (71) получим барометрическую формулу:

В рассмотренном одноразмерном случае (безграничная атмосфера, изменяющаяся вдоль оси ) тепловое условие равновесия в предположении стационарности температурного поля примет вид

что приводит к линейному распределению температуры, в частности, к постоянству ее но высоте. Это условие выполняется как при изотермическом равновесии, так и в случае "стандартной" атмосферы. При адиабатичности процесса условие теплового равновесия не выполняется.

Нетрудно построить барометрическую формулу изотермического равновесия и с учетом поля тяготения, если заметить, что в этом случае потенциал массовых сил может быть принят равным

где а — радиус Земли, - ускорение на уровне моря. По (71) будем иметь