§ 18. Равновесие несжимаемой жидкости. Уравнение поверхности раздела. Равновесие вращающейся жидкости

Рассмотрим равновесие несжимаемой жидкости в потенциальном поле объемных сил. Уравнение равновесия по (57) будет

или

Пусть две несмешивающиеся жидкости разной плотности находятся во взаимном равновесии, причем вблизи поверхности раздела

этих жидкостей, несмотря на наличие скачка плотности, давление и потенциал непрерывны, т. е. принимают одни и те же значения независимо от того, со стороны какой жидкости подойти к данной точке поверхности раздела. Производная от левой части равенства (77) по любому направлению лежащему в касательной плоскости к поверхности раздела, должна удовлетворять одновременно следующим двум равенствам:

откуда вычитанием получим

последнее равенство при принятом условии приводит к постоянству потенциала объемных сил на поверхности раздела. По (77) при этом и давление будет сохранять постоянное значение вдоль поверхности раздела. Отсюда вывод: при равновесии двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей разной плотности в потенциальном поле объемных сил граница раздела жидкостей будет одновременно изопотенциальной поверхностью и изобарой.

Так, при равновесии жидкости в поле тяжести, если ось z направить по вертикали вниз, равенство (77) дает

или, заменяя произведение на удельный вес ,

Обозначим давление над свободной поверхностью жидкости (обычно, атмосферное), через тогда, помещая начало координат в точку на горизонтальной свободной поверхности, найдем

Давление в данной точке на глубине за вычетом дополнительного давления столба воздуха на свободную поверхность, т. е. давление будем называть давлением жидкости. Тогда, для расчетов давления жидкости на тело можно, опуская штрих, пользоваться формулой

понимая под превышение давления в жидкости над атмосферным давлением на свободной поверхности.

Поверхностью раздела — свободной поверхностью жидкости — служит горизонтальная плоскость на всей этой плоскости

Предположим теперь, что жидкость вращается с постоянной угловой скоростью (о вокруг некоторой оси, сохраняющей в пространстве постоянное направление. Чтобы написать условие относительного равновесия вращающейся жидкости, как известно, следует к непосредственно приложенным силам с потенциалом присоединить еще отнесенную к единице массы центробежную силу равную

и имеющую потенциал

где вектор, направленный по кратчайшему расстоянию от оси вращения к рассматриваемой точке жидкости и равный по величине этому расстоянию; этот вектор не следует смешивать с вектор-радиусом точки относительно начала координат. Если ось совпадает с осью вращения, то

в то время как вектор-радиус по величине равен

Рис. 27.

Уравнение относительного равновесия вращающейся жидкости будет иметь по (77) вид

Уравнение свободной поверхности будет

Так, например, свободная поверхность тяжелой жидкости, вращающейся (рис. 27) вокруг вертикальной оси направленной вверх, будет иметь уравнение

или, обозначая через координату точки пересечения поверхности с осью

Это — параболоид вращения с параметром зависящим от угловой скорости вращения жидкости; с возрастанием угловой скорости

вращения параметр убывает и ветви параболы в меридиональном сечении параболоида сближаются.

Легко найти связь между высотой воды в сосуде при отсутствии вращения и величинами и при вращении с угловой скоростью Простое определение объемов дает (а — радиус цилиндрического сосуда)

Таким образом, измеряя по шкале, помещенной на внешней поверхности стеклянного цилиндра, полную глубину воронки в жидкости

можно определить угловую скорость вращения цилиндра, т. е. использовать прибор, как тахометр.

В качестве другой иллюстрации применения выведенного условия равновесия, рассмотрим вопрос о фигуре равновесия вращающегося объема однородной жидкости, тяготеющей к неподвижному центру силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра.

Рис. 28.

Примем (рис. 28) ось z за ось вращения и начало координат О за центр притяжения. Потенциал сил тяготения, отнесенных к единице массы жидкости, будет равен где С — некоторая константа, расстояние частицы жидкости от центра тяготения — начала координат О. Потенциал центробежных сил, отнесенных к единице массы жидкости, будет по предыдущему равен где угловая скорость вращения жидкого объема, - расстояние жидкой частицы от оси вращения Условие равновесия вращающейся жидкости, если отвлечься от сил взаимного тяготения между частицами, будет по (80)

а уравнение свободной поверхности, ограничивающей вращающей жидкости от окружающей его среды другой плотности, будет

Это уравнение и дает искомую форму поверхности фигуры равновесия, тяготеющей к центру жидкости при вращении ее вокруг неподвижной осн. Имея в виду приложения формулы (82) к вопросу о форме Земли, представляющей в грубом приближении вращающуюся однородную жидкость, тяготеющую к центру, зададим ускорение тяготения масс на полюсе, находящемся на расстоянии от центра Земли, тогда будем иметь:

и уравнение поверхности фигуры равновесия будет

причем определяется из условия, что на полюсе: откуда следует

Окончательное уравнение свободной поверхности будет иметь вид

или, вводя полярный угол ,

Если бы Земля не вращалась уравнение свободной поверхности свелось к равенству

и фигурой равновесия служила бы сфера. За счет весьма малого вращения, совершаемого Землей фигурой равновесия служит тело вращения, представляющее несколько сплющенную у полюсов сферу — сферой уравнение поверхности которого (85) может быть в силу малости безразмерной величины

приближенно представлено так:

Отсюда легко найти относительную сплюснутость Земли

Геодезические измерения приводят к величине в два раза большей. Такое расхождение теории с опытом объясняется грубостью принятого приближения об однородности Земли и, что самое главное, неучетом взаимного притяжения частиц, изменяющего в корне самый закон притяжения к центру. При

этом закон притяжения частиц становится зависящим от самой формы относительного равновесия вращающейся жидкости, что делает строгое решение задачи весьма сложным. Наряду с решением задачи о разыскании равновесных фигур вращающейся жидкости встает вопрос об устойчивости равновесия этих фигур, так как только устойчивые фигуры могут существовать в действительности.

Проблема разыскания устойчивых форм вращающихся жидких объемов способствовала развитию многих теоретических вопросов математики и механики, особенно же теории потенциала и общего учения об устойчивости движений. Мировую известность приобрели работы в этом направлении создателя современной теории устойчивости движения академика А. М. Ляпунова (1857—1918), который нашел бесчисленное множество фигур равновесия вращающейся жидкости, близких к эллипсоидальным, открытым ранее в 1742 г. Маклореном (эллипсоид вращения) и в 1834 г. Якоби (трехосный эллипсоид). А. М. Ляпунов исследовал также фигуры равновесия вращающейся неоднородной жидкости, что особенно существенно для проблем космогонии.

Результаты А. М. Ляпунова оставили далеко позади все что было сделано в том же направлении зарубежными учеными и в том числе известным французским математиком А. Пуанкаре (1854—1912).

Ряд классических задач теории устойчивости вращающихся жидких масс был разрешен также нашими великими соотечественниками: П. Л. Чебышевым, Софьей Ковалевской и В. А. Стекловым.