§ 29. Стоячая ударная волна или скачок уплотнения. Ударная адиабата

Как уже указывалось в конце предыдущего параграфа, ударная волна является некоторым предельным образованием, соответствующим Разрыву непрерывности основных физических величин, характеризующих движущийся газ, и обращению в бесконечность производных

от этих величин. По этой причине исследовать явления распространения ударной волны при помощи дифференциальных уравнений динамики газа нельзя, приходится искать обходные пути и в первую очередь пытаться использовать общие теоремы динамики газа в их интегральном представлении.

Для конкретности рассмотрим (рис. 40) цилиндрическую трубу бесконечной длины, вдоль которой может перемещаться поршень. Пусть вначале газ неподвижен, а затем внезапно поршень получает мгновенное ускорение влево, и достигнув скорости V, продолжает двигаться равномерно с этой скоростью. Возникает вопрос, как произойдет передача движения поршня находящемуся перед ним газу.

Созданное непосредственно перед поршнем возмущение — сжатие газа — начнет распространяться влево, причем, в силу внезапности перехода поршня от покоя к движению со скоростью V, протяженность начального участка возмущения по оси трубы будет очень мала. В результате известного уже нам явления обгона проходящими через участки более плотного газа волнами возмущения волн в менее плотном газе, образуется плоская ударная волна, показанная на рис. 40 пунктиром, которая побежит по неподвижному, невозмущенному газу (на рис. 40 влево) с некоторой скоростью 0, оставляя за собою (на рис. 40 справа) возмущенный газ. выведенный из состояния покоя и приведенный к скорости одинаковой со скоростью поршня.

Рис. 40.

Замечая, что бегущая по газу ударная волна встречает перед собой газ с одними и теми же значениями давления, плотности и температуры и, точно так же, оставляет за собою газ с новыми, но также все время одними и теми же термодинамическими параметрами возмущенного состояния газа, можем утверждать, что скорость распространения ударной волны будет величиной постоянной. Из приведенного ранее рассуждения ясно, что ударная волна будет обгонять движение поршня, т. е. всегда

Одномерное движение газа в трубе является нестационарным, так как при прохождении ударной волны скорости и основные термодинамические параметры газа изменяются. Для целей дальнейшего расчета удобнее иметь дело со стационарным явлением. Поэтому обратим рассматриваемое движение, сообщив мысленно всей трубе в целом, вместе с движущимся в ней газом, поступательное движение слева

направо со скоростью 9. Иначе говоря, будем рассматривать происходящее в трубе явление с точки зрения галилсевой системы координат, движущейся поступательно вдоль оси трубы вместе с ударной волной. Тогда ударная волна окажется как бы остановленной, а движение газа — стационарным. Такую "стоячую" ударную волну по предыдущему будем называть скачком уплотнения. Невозмущенный газ в новом рассмотрении уже не неподвижен, а подходит к скачку уплотнения слева направо (рис. 41) со скоростью а за скачком движется со скоростью Давление, плотность и температура в этой галилеевой системе сохраняют свои прежние значения; условимся обозначать индексом величины перед скачком, индексом - после скачка.

Рис. 41.

Чтобы найти связь между воспользуемся стационарностью потока и применим к нему теоремы сохранения массы, количества движения и энергии в форме Эйлера. Согласно соображениям, приведенным в конце § 23, эйлеровы формы этих теорем могут быть применимы и в случае наличия в потоке поверхностей разрыва (например, скачка уплотнения). Следует только выбрать "контрольную поверхность" так, чтобы те ее части, на которых нормальная составляющая скорости отлична от нуля, не совпали и не пересеклись с поверхностью разрыва.

Выберем за контрольную поверхность совокупность боковой поверхности цилиндрической трубы и двух равных между собою по площади нормальных сечений (рис. 41). Поверхность разрыва пересекает только ту часть контрольной поверхности, где силу принятой одномерности движения будем считать, что в сечениях о, и поля скорости и других величин однородны.

Закон сохранения массы, согласно (32) гл. III, дает после сокращения на

Теорема об изменении количеств движения в форме (42) гл. III "риводит, аналогично, к равенству

и, наконец, закон сохранения энергии (37) гл. позволяет написать третье соотношение:

К системе уравнений (39), (40), (41) можно еще присоединить уравнение Клапейрона, вследствие которого, используя еще равенство (17) гл. III, можно написать:

и, аналогично,

после чего равенство (41) заменяется следующим:

Таким образом, составлена система трех уравнений: (39), (40) и (42) с тремя неизвестными величинами

Найдем сначала связь между давлениями и плотностями до и за скачком уплотнения, исключив из рассмотрения скорости и Для этого, согласно (39), перепишем уравнение изменения количеств движения (40) в виде

и умножим обе части этого равенства справа на выражение

а слева на равную ему величину

тогда получим

С другой стороны, из уравнения энергии (42) следует:

так что, приравнивая левые части двух последних равенств, найдем:

Группируя в этом равенстве члены с и будем иметь:

Это важное соотношение, установленное впервые Гюгонио, определяет связь между давлением и плотностью в газе после прохождения им скачка уплотнения и давлением и плотностью до скачка. Вспоминая связь между давлением и плотностью в непрерывном адиабатическом движении идеального газа, определяемую изэнтропической адиабатой

видим, что уравнение Гюгонио (43) представляет адиабату, отличную от изэнтропической; эту адиабату обычно называют ударной или еще адиабатой Гюгонио в отличие от изэнтропической адиабаты Пуассона (44).

Рис. 42.

Полученный результат на первый взгляд противоречит доказанному в предыдущей главе положению об изэнтропичности адиабатического движения идеального газа. Не следует, однако, забывать, что, в отличие от рассмотренного ранее непрерывного вдоль трубки тока движения, в настоящем параграфе рассматривается разрывное движение с конечным скачком всех величин в некотором сечении трубки тока. Отсюда следует только сделать естественное заключение, что прохождение идеального газа сквозь скачок уплотнения не является азэнтропическим процессом, а сопровождается переходом механической энергии в тепловую. При этом должна возрастать отнесенная к единице массы энтропия газа, в чем нетрудно убедиться, если вспомнить, что по формуле (26) гл. III:

На рис. 42 показаны для сравнения графики двух адиабат: изэнтропической и неизэнтропической, ударной адиабаты. Как видно из этого графика, при ударная адиабата располагается выше

изэнтропической, откуда и следует, что выражение, стоящее в квадратной скобке под знаком логарифма в формуле (45), больше единицы, логарифм положителен, так что, действительно:

Из формулы (45) сразу следует, что скачка разрежения быть не может. Действительно, повторяя формально все предыдущие рассуждения относительно воображаемого скачка разрежения, можно было бы получить те же самые формулы и при Но при кривая, соответствующая ударной адиабате, ложится ниже изэнтропической адиабаты, так что в этом случае

это означает, что при прохождении газом воображаемого "скачка разрежения" отнесенная к единице массы энтропия газа должна была бы уменьшаться, что приводит к противоречию со вторым началом термодинамики. Таким образом, и из общих термодинамических соображений следует, что в рассматриваемом случае движения совершенного газа "скачок разрежения" невозможен. При наличии в движущемся газе химических процессов (горение, детонация) последний вывод не имеет места.

Заметим, что ударная адиабата имеет асимптоту

так как при этом отношении плотностей отношение давлений, Согласно (43), обращается в бесконечность. Отсюда следует, что, в отличие от обычного адиабатического и изэнтропического сжатия газа, как бы ни была велика интенсивность ударной волны созданное ею уплотнение газа не может превзойти величины Так, например, воздух, пройдя сквозь скачок уплотнения, не может повысить свою плотность более, чем в шесть раз.