§ 87. Ламинарный пограничный слой в общем случае задания скорости внешнего потока. Применение уравнения импульсов для приближенного расчета ламинарного пограничного слоя

Согласно (66), уравнения (65) изотермического ламинарного пограничного слоя можно переписать в размерной форме так:

В общем случае задания как некоторой произвольной функции, уравнения в частных производных (89) не могут быть сведены к обыкновенному. Существующие методы интегрирования уравнений (89), основанные на разложении в степенной ряд и разыскании неизвестных функций также в виде степенных рядов, 2 сложны с вычислительной стороны и мало точны. В последнее время широкое практическое применение получили приближенные методы, сводящие решение общей задачи к вычислению простых квадратур. Изложению этих методов и посвящен настоящий параграф.

Начнем с вывода основного уравнения количеств движения или "уравнения импульсов", как принято его называть.

Пользуясь вторым уравнением системы (89), преобразуем систему к виду:

после чего вычтем почленно обе части первого уравнения преобразованной системы из второго; тогда будем иметь:

Проинтегрируем обе части полученного уравнения по у в пределах от нуля до со или до некоторой конечной величины, принимаемой с той степенью условности, о которой уже была речь в предыдущих параграфах, за меру "толщины" пограничного слоя. В последнем случае точные условия асимптотического стремления к

заменяются приближенными".

Производя в том или другом предположении указанное интегрирование, будем иметь:

Используем граничные условия и заметим, что при существовании интеграла с бесконечным верхним пределом будет:

точно так же в случае переменного конечного верхнего предела

Таким образом, будем иметь:

Введем условные "толщины" пограничного слоя: "толщину вытеснения"

и "толщину потери импульса"

и вспомним, что по определению напряжения трения на стенке :

Уравнение (90) преобразовывается к виду

или, после раскрытия производной,

Уравнение (91) представляет основное интегральное соотношение теории пограничного слоя и называется "уравнением импульсов". Уравнению импульсов придают еще форму

где под понимают отношение:

Уравнения (91) или (91) могли бы быть получены непосредственно из теоремы количеств движения (теоремы импульсов), примененной к объему жидкости, заключенному между двумя бесконечно близкими смежными сечениями пограничного слоя, чем и объясняется наименование этих уравнений.

В 1921 г. Карман и Польгаузен предложили приближенный метод интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя, основанный на использовании уравнения импульсов. Идея метода заключается в следующем. Заменим неизвестные действительные профили скоростей и в сечениях пограничного слоя семейством парабол четвертой степени

с параметром I, равным

Легко проверить, что это семейство профилей скорости удовлетворяет ранее указанным граничным условиям:

и, кроме того, еще двум дополнительным условиям:

из которых первое непосредственно вытекает из первого уравнения системы (89), а второе требует, чтобы соприкасание кривых семейства с прямой при было второго порядка. Рассматривая параметр А, или, тем самым, по (92) 8, как неизвестную функцию х, можем эту неизвестную определить, пользуясь уравнением импульсов (91). Для этого достаточно нодставигь многочленное представление скорости (92) в выражения и вычислить эти "толщины"; простое интегрирование многочленов дает:

кроме того,

Подставляя полученные значения и в уравнение (91), получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение для определения А:

где функции и определяются равенствами:

Определив по тем самым найдем и после чего станут известными профили скоростей (92) во всех сечениях пограничного слоя, трение на стенке и толщины . К сожалению, метод Польгаузена оказывается крайне сложным с вычислительной стороны, так как требует приближенного интегрирования нелинейного уравнения (93) с особыми точками при Кроме того, и это наиболее существенно, метод оказывается неприменимым к исследованию пограничного слоя при замедленном движении

во внешнем потоке, например, в кормовой части крылового профиля, если слой близок к предотрыкному своему состоянию или отрывается.

О точности метода Польгаузена в областях, где метод допустим к использованию, можно судить на основании следующего простейшего примера его применения к продольному обтеканию пластинки. В этом случае так как подставляя значения:

непосредственно в уравнение (91), в котором второй член левой части пропадет, будем иметь:

Уравнение легко интегрируется и дает:

Что касается формулы для толщины слоя то она имеет чисто вспомогательный и условный характер; остальные результаты допускают сравнение с точными формулами § 85. Приведем сравнение числовых коэффициентов и этих формулах (табл. 18).

Таблица 18 (см. скан)

В настоящее время разработаны значительно более простые и вместе с тем вполне приемлемые для практики методы расчета пограничного слоя, основанные на применении преобразованного уравнения импульсов и более близкого к действительности, но также однопараметрического семейства профилей скорости.

Предположим, что семейство профилей скорости в сечениях пограничного слоя задано функцией

удовлетворяющей тем или другим граничным условиям и имеющей в качестве параметра величину к, определенную равенством . Используя эту функцию, убедимся, что вообще:

где некоторые функции X, зависящие от вида функции

Подставляя эти значения и в уравнение импульсов (91), получим вновь уравнение (93), с той лишь разницей, что входящие в него функции будут представлять следующую явную зависимость от :

Введем теперь в рассмотрение две новые функции X:

связанные с простыми соотношениями:

тогда уравнение (93) может быть переписано так:

Умножая обе части этого уравнения на получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

относительно неизвестной функции:

Таким образом, параметр X, заключающий в себе условную вспомогательную величину , исключается и заменяется новым параметром образованным по тому же закону, что и X, но имеющим в качестве характерной длины "толщину потери импульса" .

Замечая, что равенства (94) можно рассматривать как параметрическую связь между через параметр X, а параметр к выражается через при помощи первого из уравнений (94), будем предполагать, что к исключено и повсюду заменено своим выражением через Переписывая в виде:

и вводя обозначения:

получим такое выражение для функции

Приведенный вывод уравнения (95) и общего выражения входящей в него функции несколько сложен, но зато имеет то достоинство, что связывает новый метод со старым и естественно из него вытекает.

Уравнение (95) можно вывести непосредственно из уравнения импульсов (91) или (910, не прибегая к помощи параметра X и толщине слоя . Предположим заранее, что профили скоростей в пограничном слое могут быть представлены однопараметрическим семейством скоростей в форме:

где - толщина потери импульса, а -некоторый, пока неопределенный параметр. Вычисляя толщину вытеснения , убедимся, что

т. е., что отношение представляет функцию одного

Далее заметим, что напряжение трения может быть представлено как

причем квадратная скобка представляет также функцию одного Обозначая эту функцию через получим:

После этого, умножая обе части уравнения (91), переписанного в виде

на будем иметь:

или

Отсюда сразу видно, что, если положить то последнее уравнение перейдет в уравнение (95); при этом также получается и формула (97) для