§ 7. Мера однородности поля в данном направлении и в дайной точке. Градиевт скалярного поля и дифференциальный тензор векторного поля как меры неоднородности поля

Подобно тому как количественной мерой изменчивости (быстроты изменения) функции одной переменной при данном значении ее аргумента является производная этой функции по аргументу, точно так же и в случае скалярного или векторного поля за меру неоднородности поля или изменчивости величин поля в данном направлении

в пространстве можно принять производные этих величии но выбранному направлению, причем в общем случае пространственного распределения производные эти зависят от направления дифференцирования. Таким образом, за меру неоднородности поля по направлению 1 можно принять величины:

где первая представляет ранее определенную формулой (4) производную от скалярной функции по направлению 1, вторая определяется аналогичным образом как предел

подчеркнем, что в обеих частях равенства в числителе стоит векторная разность, а не скалярная, как в случае равенства (4); при этом производная (8) является вектором. Естественно встает вопрос, образуют ли величины и соответственно, скалярные и векторные поля.

Через каждую точку пространства можно провести бесчисленное множество направлений, а, следовательно, каждой точке пространства будет соответствовать бесчисленное множество значений производных скалярной и векторной функций по направлению. Отсюда заключаем, что скаляр и вектор не образуют полей, так как между их значениями и точками пространства отсутствует взаимно-однозначное соответствие; можно сказать, что эти производные являются функциями положения точки (вектор ), в которой они вычисляются, и направления (вектора I). Поставим вопрос о разыскании такой образующей поле однозначной функции точек пространства, чтобы рассматриваемые производные выражались через нее и орт 1, определяющий направление дифференцирования. С физической стороны разыскивается мера неоднородности поля в данной точке, не зависящая от отдельных направлений в пространстве, но такая, что неоднородность поля в данном направлении будет выражаться через нее и орт выбранного направления.

В случае скалярного поля такая мера неоднородности поля в данной точке напрашивается сама собою при одном взгляде на формулу (5). Проведем через заданную точку поля вектор, равный по величине производной скалярной функции но направлению внешней нормали к поверхности уровня в данной точке и направленный по внешней нормали. Этот вектор называется градиентом скалярной функции и обозначается символом тогда, по определению,

а формула (5) эквивалентна следующей (рис. 4):

Градиент скалярной функции представляет меру неоднородности поля этой функции в данной точке. Мера неоднородности поля в данном направлении — производная скалярной функции по этому направлению — является проекцией градиента на рассматриваемое направление.

Рис. 4.

Из формулы (10) сразу вытекают выражения проекций градиента на оси декартовых координат:

так как частные производные по являются ни чем иным, как производными от по направлениям осей координат. Далее, по обычным формулам векторной алгебры найдем величину градиента

и косинусы углов, образованных вектором градиента или, что все рлнно, внешней пормялыо к поверхности уровня с осями координат:

Пользуясь (11) и известным выражением скалярного произведения, можем переписать (10) еще так:

где, по определению единичного вектора I,

Из формулы (14) следует, что с аналитической точки зрения бесчисленное множество производных по всевозможным направлениям в данной точке поля однозначно выражается через совокупность значений трех величин и в этой точке. Само собой разумеется, что совершенно безразлично называть ли мерой неоднородности поля в данной точке вектор или эквивалентную ему совокупность величин

Несколько сложнее решается аналогичный вопрос о мере неоднородности векторного поля в данной точке.

Пусть в данный момент времени задано ноле вектора а в функции декартовых координат, т. е. вектор-функция .

Рис. 5.

Приращение вектора а при каком-то бесконечно малом изменении координат точки найдем по формуле полного дифференциала:

Если точка переместилась в смежное положение (рис. 5) по направлению 1 на расстояние то

и, следовательно, векторное равенство (16) может быть переписано так:

или в проекциях

Сравнивая (18) с (16), видим, что, в отличие от скалярного поля, где мерой неоднородности служит совокупность трех величин мерой неоднородности в данной точке векторного поля является совокупность девяти величин:

Отдельные величины таблицы (матрицы) (19) характеризуют изменчивость проекций вектора по направлениям координатных осей, а в своей совокупности эти девять величии определяют одну физическую величину — меру неоднородности векторного поля в данной точке.

Напомним, что, вообще, всякая совокупность девяти величин линейно связывающая по формулам:

проекции физического вектора с проекциями физического же вектора а, определяет физическую величину, называемую тензором второго ранга; при этом правые части системы уравнений (20) соответствуют операции умножения вектора на тензор, символически представляемой так:

Имея в виду дальнейшие применения формул (20), укажем простой прием для их запоминания: составляя проекцию на некоторую ось произведения вектора и тензора, умножаем проекции вектора на компоненты тензора с тем же первым индексом и вторым индексом, соответствующим оси проектирования произведения.

Операция умножения вектора на тензор не обладает, вообще говоря, свойством переместительности, т. е. . Обозначим через тензор, сопряженный с тензором т. е. такой, у которого

индексы компонентов переставлены, например, Тензор самосопряженный, для которого следовательно, называется симметричным, так как в таблице такого тензора компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой. Операция умножения тензора на вектор эквивалентна операции (20) или (21) умножения вектора на сопряженный тензор, Если тензор симметричен, то и формулы проекций произведения совпадают с (20).

В дальнейшем, при изложении механики жидкости и газа, так же как это имеет место и в механике твердого и упругого тела, придется неоднократно иметь дело с примерами различных тензоров. Подчеркнем важный для дальнейшего факт: хотя отдельные компоненты тензора (19) и зависят от выбора направления осей координат в пространстве, где задано поле, сам тензор от этого зависеть не должен, так как он характеризует определенное физическое свойство конкретного поля величин.

Назовем тензор, представленный таблицей (19), поскольку он состоит из всевозможных производных от проекций вектора поля по координатам, дифференциальным тензором векторного поля. Тогда, согласно (18), придем к ныводу, что мерой неоднородности (изменчивости) векторного поля служит дифференциальный тензор поля. Обозначая дифференциальный тензор поля буквой полагая

будем иметь вместо (17) и (18), согласно (20) и (21):

Последняя формула отчетливо показывает, что, независимо от выбора той или другой системы координат, физическая величина — производная физического вектора по определенному направлению в пространстве — выражается как произведение физического вектора — орта выбранного направления — на физический же тензор — меру неоднородности поля в данной точке пространства.

Для облегчения запоминания формул настоящего и следующих параграфов можно предложить простой символический прием.

Обозначим через V некоторый условный вектор с проекциями:

представляющий символически оператор дифференцирования.

Тогда градиент скалярной функции можно рассматривать условно, как произведение вектора-оператора V на скаляр :

и формулы (11), принимая во внимание (24), писать просто по правилам проектирования произведения вектора на скаляр:

При этом равенство (10) по (25) можно представить в виде

и рассматривать операцию дифференцирования по направлению 1, как символическое произведение

вынося дифференцируемую функцию, безразлично скалярную, векторную или тензорную, за знак символического дифференцирования так:

Принимая указанную символику, можно дифференциальный тензор изобразить как диадное произведение двух векторов: символического V и дифференцируемого а:

понимая под этой "диадой" тензор, составляющие которого легко определяются по простому правилу:

Равенство (23), сообразно второму равенству (28) и (29), может быть еще написано так:

Формулы (17) и (18) можно легко запомнить при помощи (30) и правила раскрытия скалярного произведения: