§ 63. Функция тока и ее связь с векторным потенциалом скоростей. Функции тока простейших течений
Согласно (10) § 60 уравнение несжимаемости жидкости будет иметь вид
Предположим, что одна из составляющих скоростей движения, например V повсюду равна нулю; тогда предыдущее уравнение сведется к более простому:
В этом случае можно утверждать существование такой величины что будет выполняться система равенств:
или:
Такого рода величина 
через которую могут быть выражены две неизвестные проекции скорости на оси криволинейных координат, называется функцией тока.
Потенциал скоростей 
связан с функцией тока, если она существует, следующими соотношениями:
которые легко получить, приравняв проекции скорости 
выраженные через 
согласно (13) и (9), и через 
согласно (34).
Простейшим примером существования функции тока служит плоское движение несжимаемой жидкости.
Рассмотрим осесимметричное относительно оси 
движение несжимаемой жидкости, протекающее в меридиональных плоскостях, проходящих через ось 
При таком движении существуют все 
декартовы проекции скорости 
и все они зависят от трех координат х, у, z, так что из уравнения несжимаемости
не следует существования функции тока. Между тем, если условиться исследовать указанное осесимметричное движение в цилиндрической или сферической системе координат, то, написав, согласно формулам, помещенным в конце § 60, уравнения несжимаемости в одном из следующих видов:
и заметив, что, в силу сделанного предположения о меридиональности движения, члены с 
пропадут, будем иметь следующие выражения проекций скорости через функцию тока: а) в цилиндрической системе координат:
б) в сферической системе координат:
Введенная уравнениями (34) или (34) функция тока обладает свойствами, аналогичными функции тока в плоском движении.
Замечая, что:
по (34) найдем:
Следовательно, вдоль линии тока 
В случае ранее рассмотренного осесимметричного движения жидкости по меридиональным плоскостям 
равенства 
представят некоторые поверхности, которые можно было бы образовать вращением линий тока вокруг оси 
Эти поверхности называют поверхностями тока-, на самой оси 
можно положить 
тогда значения 
будут определять объемный расход жидкости через любое ортогональное к оси 
сечение трубки тока, ограниченной данной поверхностью тока.
Функцию тока можно рассматривать как одну из составляющих векторного потенциала А скоростей, связанного с вектором скорости равенством (24). Действительно, согласно этому равенству и формулам (11) имеем:
Выбирая вектор А перпендикулярным во всем пространстве координатным поверхностям 
будем иметь:
положив 
а коэффициенты Ляме и величину 
не зависящими от 
получим формулы (34). Так, например, в сферической или цилиндрической системах координат вектор А должен быть направлен по касательной к параллельным кругам, соответствующим изменению одного 
и не зависеть от 
Найдем функцию тока в случае нескольких ранее рассмотренных простейших движений. Для этого используем формулы (36) и (37).
1°. Однородный прямолинейный поток со скоростью V, параллельной оси 
В цилиндрической системе координат имеем:
следовательно:
В сферической системе координат:
Простое интегрирование этой системы уравнений в полных дифференциалах дает:
2°. Источник (сток) дает простое выражение для функции тока в сферической системе координат. Имеем:
откуда нетрудно получить
или, подбирая константу из условия 
при 
3°. Диполь. Используя выражение потенциала скоростей (18), будем иметь по (37) систему уравнений:
откуда следует:
Легко найти иитеграл этой системы, обращающийся в нуль при 
:
