ГЛАВА VII. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ

§ 60. Ортогональные криволинейные координаты в пространстве. Основные дифференциальные операторы поля в криволинейных координатах

При исследовании пространственных течений постоянно приходится пользоваться различными криволинейными системами координат: цилиндрической, сферической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен: от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий и многое другое. В плоском движении роль криволинейных координат, как это было показано в § 40 гл. V, играет метод функций комплексного переменного и конформных отображений; переход от физической плоскости к вспомогательной плоскости С — был эквивалентен пользованию криволинейными координатами вместо прямолинейных х, у.

Имея в виду сказанное, напомним вкратце основные формулы теории ортогональных криволинейных координат.

Положение точки в пространстве трех измерений можно определять как заданием трех ее декартовых координат х, у, z или вектора-радиуса с проекциями х, у, z, так и любой другой тройкой чисел криволинейных координат — связанных взаимно-однозначным функциональным соответствием с координатами х, у, z:

или эквивалентным векторным соотношением

Изменяя (рис. 132) одну из криволинейных координат и сохраняя постоянными остальные две, получим некоторую кривую линию в пространстве, называемую координатной линией Через каждую точку пространства можно провести, таким образом, три координатные линии: Каждая координатная линия представляет годограф вектора соответствующий изменению одной из криволинейных координат. Проводя через точку касательные к координатным линиям в сторону возрастания отдельных координат, получим координатные оси в точке Легко понять, что орты (единичные векторы) этих координатных осей будут равны

так как векторная производная от вектора-радиуса по скалярному аргументу направлена по касательной к соответствующему годографу, а в результате деления вектора на его модуль получим вектор единичной длины, т. е. орт.

Рис. 132.

Введем так называемые коэффициенты Ляме:

тогда предыдущая формула даст следующее выражение ортов координатных осей:

Условие взаимной ортогональности координатных осей будет:

или

Дифференциал дуги координатной линии равен модулю частного дифференциала вектора-радиуса по аргументу

В ортогональной системе координат дифференциал любой дуги складывается из дифференциалов дуг координатных линий по правилу арямоугольного параллелепипеда:

Наряду с координатными линиями и касательными к ним — координатными осями — вводят в рассмотрение координатные поверхности и касательные к ним координатные плоскости. Уравнения координатной поверхности получим из (1) или (1), если будем считать постоянной координату а менять остальные две координаты. В случае ортогональной системы координат через каждую точку пространства можно провести три взаимно перпендикулярные координатные поверхности и три координатные плоскости. Легко проверить, что каждая координатная линия будет перпендикулярна соответствующей ей координатной поверхности аналогично расположатся и координатные оси по отношению к координатным плоскостям.

Попарным перемножением дифференциалов дуг координатных линий получим элементарные координатные площадки:

а также и выражение для элемента объема:

В цилиндрической (рис. 133) системе координат связанной с декартовой очевидными соотношениями:

и сферической :

отличающейся от цилиндрической заменой:

будем иметь:

По определению градиента скалярной функции будем иметь:

Рис. 133.

Дивергенция вектора может быть вычислена в ортогональной криволинейной системе по формуле

которую проще всего вывести, применяя известное нам по гл. I интегральное определение дивергенции

к элементарному криволинейному координатному объему z. Будем иметь (рис. 132):

a после сокращения на получим формулу (10),

Проекции вихря вектора на оси криволинейных координат получим, применяя для отдельных составляющих вихря по направлениям осей и соответствующих элементарных площадок известную теорему Стокса о связи между интенсивностью вихря вектора и циркуляцией вектора по элементарному контуру, охватывающему координатную площадку (направление обхода показано стрелками на рис. 132):

Вудем иметь приближенно, а в пределе и точно, для одной из составляющих, например

откуда, сокращая на и повторяя то же вычисление для других составляющих, найдем:

Наконец, пользуясь (10) и (9), напишем еще общее выражение для оператора Лапласа в любой ортогональной системе криволинейных координат:

Приведем в заключение формулы градиента, дивергенции, вихря и оператора Лапласа в наиболее употребительных цилиндрических и сферических координатах;

а) цилиндрические координаты:

б) сферические координаты:

Выведенные формулы представляют необходимый справочный материал для дальнейшего.