§ 95. Формулы сопротивления гладких труб при турбулентном движении жидкости. Ламинарный подслой

При приближении к стенке трубы турбулентное трение, как было уже ранее выяснено, должно быстро ослабевать и непосредственно на стенке обращаться в нуль, так как в силу непроницаемости стенки поперечные но отношению к потоку и перпендикулярные к стенке пульсации не могут осуществляться. Вместе с тем возрастает роль вязких членов, пропорциональных нормальной к стенке производной

от продольной скорости. Как видно из рис. 191, эти производные при турбулентном режиме движения в трубе имеют гораздо более высокий порядок, чем при ламинарном, что соответствует большему значению ламинарного трения на стенке. Можно в грубом приближении предположить, что весь поток в трубе разбивается на две характерные области: 1) ядро течения, где поток чисто турбулентен и влияние вязкости пренебрежимо мало, и 2) пристеночный слой, где движение, наоборот, целиком определяется силами вязкости, а члены, представляющие турбулентное трение, ничтожны. В отличие от турбулентного ядра течения пристеночный слой называют ламинарным подслоем.

Не следует смешивать понятия пристеночного, ламинарного подслоя в трубе с ранее введенным представлением о ламинарном пограничном слое. Напомним, что движение вязкой жидкости в пограничном слое определялось как силами вязкости и давлений, так и инерционными влияниями: движение в пограничном слое не было равномерным, а сам слой нарастал по толщине вниз по потоку. В рассматриваемом сейчас ламинарном подслое движение равномерно и происходит под действием только движущего перепада давлений и сил вязкости. Пограничный слой граничит с внешним безвихревым потоком, ламинарный подслой располагается под турбулентным ядром течения, законы движения которого не имеют ничего общего с потенциальным потоком. Нам придется в дальнейшем иметь дело с турбулентным пограничным слоем; в этом случае вблизи стенки, на дне турбулентного пограничного слоя, будет существовать ламинарный подслой.

Сделаем следующее допущение относительно толщины ламинарного подслоя будем предполагать, что толщина подслоя может быть представлена в виде степенного одночлена, зависящего лишь от физических констант жидкости и напряжения трения на стенке

где некоторая безразмерная константа. Составляя уравнение связи размерностей

и сравнивая показатели степени при одинаковых размерностях слева и справа, получим систему уравнений:

имеющую корнями:

Из этих соображений вытекает, что толщина ламинарного подслоя должна определяться формулой:

или, пользуясь представлением о динамической скорости

Представляя это выражение в виде

заключим, что при больших величина должна составлять ничтожную часть диаметра круглой трубы или расстояния между стенками плоской трубы. В связи с этим с пренебрежимо малой ошибкой можно считать на всем протяжении подслоя профиль скоростей прямолинейным и определить скорость ил на внешней границе подслоя, как

Подставляя сюда выражение согласно (29), получим:

Формулы (29) и (29) заключают в себе новую константу а, которая вместе с уже ранее введенной константой представляет совокупность двух характерных констант турбулентности. Определить эти две константы в настоящее время можно только из опытов, причем только опыты могут подтвердить тот основной факт, что действительно представляют постоянные величины, не зависящие ни от физических свойств жидкости, ни от скорости движения, ни от размеров трубы, или, более точно, не зависят от рейнольдсова числа.

Используем для определения констант формулу распределения скоростей (27), правильность которой в турбулентном ядре течения вблизи ламинарного подслоя подтверждается и точными и приближенными соображениями подобия. Полагая в равенстве определяя С и исключая его из (27), будем иметь:

или, переходя от натуральных логарифмов к десятичным,

На рис. 192 приводится сводка результатов ранее цитированных опытов Никурадзе, проведенных в широком диапазоне рейнольдсовых чисел и обработанных в координатах Как это следует из графика, экспериментальные точки вполне удовлетворительно располагаются по прямой

Сравнивая экспериментально полученные коэффициенты в формуле (31) с соответствующими теоретическими величинами, входящими в коэффициенты формулы (30), найдем вновь 0,40, а значение оказывается близким к 11,5.

Рис. 192.

Невозможность чисто теоретического определения констант у. и а делает изложенную теорию турбулентного движения в трубе полуэмпирической.

Располагая формулами распределения скоростей и выражением для толщины ламинарного подслоя и скорости на внешней его границе, легко выведем и искомые формулы сопротивления.

Напомним, что, аналогично тому, как это было сделано в теории ламинарного движения в трубах (§ 79), задача сводится к определению зависимости коэффициентов сопротивлений или входящих

в формулы (29) или (32) § 79, от рейнольдсова числа. Нет никакой необходимости повторять выводы этих формул для турбулентного движения, так как предыдущий вывод не заключал в себе ничего специфического для ламинарного движения и относился, очевидно, к обеим формам движения.

Согласно (32) § 79, используя величину будем иметь:

или:

Для получения формул сопротивления можно использовать любой из следующих двух путей: или применяя к оси трубы формулу скоростей (31), в которой коэффициенты определены при помощи значения скорости на границе ламинарного подслоя, или, наоборот, применяя к границе ламинарного подслоя формулу (27) с постоянными, определенными через скорость на оси трубы.

И тем и другим приемом получим одну и ту же формулу

которую, пользуясь (32), можно преобразовать еще к виду:

Будем иметь окончательный вид формулы сопротивления:

Линейность связи между и хорошо подтверждается опытными точками, как об этом можно заключить из рассмотрения графика на рис. 193. Прямая 1 проведена при прямая 2 - при Переписывая (33) в тождественной форме

и используя (28) и (32), получим:

где

Многочисленные опыты хорошо подтверждают следующую формулу с округленными коэффициентами:

представляющую связь между коэффициентом сопротивления трубы X и рейнольдсовым числом в неявной форме.

Рис. 193.

При желании можно пользоваться предложенной Никурадзе приближенной явной зависимостью

близость которой к эксперименту иллюстрируется сплошной кривой на рис. 194. На том же рисунке пунктиром приведена для сравнения прямая, соответствующая широко используемой в гидравлике формуле Блязиуса;

применимость которой, как: показывает рис. 194, ограничена значениям»

Из приведенных формул вытекает следующий путь расчета установившегося турбулентного движения жидкости в круглой трубе.

Обычно задается диаметр трубы коэффициент кинематической вязкости жидкости и потребный объемный расход.

Рис. 194.

По расходу и диаметру находим а следовательно, и число Рейнольдса после этого определяется по (36) коэффициент сопротивления к, а затем и перепад давления на заданном участке трубы длины

Определив по полученной величине перепад на участке длиной в половину радиуса трубы, найдем:

и

Остается воспользоваться формулой скоростей (31), чтобы задача была полностью решена.

Сопротивление трубы глубоко связано с явлениями, происходящими в ламинарном подслое в непосредственной близости к стенке. Именно этим объясняется, почему, несмотря на пренебрежение вязкими членами в уравнениях движения в турбулентном ядре течения, распределение скоростей и сопротивление грубы оказываются зависящими от числа Рейнольдса.