§ 16. Тепловые явления в жидкостях и газах. Закон сохранения энергии и уравнение баланса энергии

Уравнение непрерывности и уравнения движения в напряжениях представляют систему динамических уравнений, описывающих взаимную связь между изменениями плотности и скорости, с одной стороны, и приложенными к жидкости или газу поверхностными и массовыми силами — с другой.

Для решения вопросов движения жидкости или газа этих динамических уравнений оказывается недостаточно, так как рассматриваемые обычно движения тесио связаны с непрерывными взаимными превращениями механической энергии в тепловую. Так, например,

хорошо известно, что газ при сжатии его поршнем в цилиндре разогревается, при расширении, наоборот, остывает. В первом случае механическая работа сжатия переходит в тепло, во втором — работа расширения происходит за счет тепла газа. Аналогичные, только гораздо менее интенсивные процессы происходят и в капельных жидкостях (вода, масло). Широко распространено явление заметного разогревания движущихся по трубам жидкости или газа за счет внутреннего трения. Снаряд, летящий с большой скоростью в воздушной атмосфере, сильно разогревается, значительно повышается при этом и температура воздуха вблизи поверхности снаряда.

Вот почему к уравнениям предыдущего параграфа необходимо присоединить еще уравнение баланса, энергии в потоке.

Чтобы составить уравнение баланса энергии в движущихся жидкости или газе, вспомним общий закон сохранения энергии, который в применении к движущемуся индивидуальному объему можно формулировать так: изменение полной энергии объема жидкости или газа за бесконечно малый промежуток времени равно сумме элементарных работ внешних массовых и поверхностных сил, приложенных к выделенному объему и его поверхности, сложенной с элементарным количеством тепла, подведенным извне к объему за тот же промежуток времени.

В дальнейшем будем считать движущиеся жидкость или газ совершенными, т. е. будем предполагать, что внутреннее молекулярное движение в них сводится к свободному соударению абсолютно упругих шариков, не подверженных действию межмолекулярных сил и столь малых по величине, что можно пренебречь их вращением. В этом предположении можно считать внутреннюю энергию равной произведению абсолютной температуры на коэффициент теплоемкости при постоянном объеме для сжимаемого газа или на коэффициент теплоемкости с — в случае несжимаемой жидкости. Уравнению баланса энергии жидкости или газа в индивидуально движущемся объеме с поверхностью о можно придать следующую интегральную форму:

Слева в уравнении (41) стоит индивидуальная производная по времени от суммы внутренней и кинетической энергий объема, справа — сумма мощностей массовых сил, приложенных к объему (первый интеграл), поверхностных сил (второй интеграл) и выраженное в механических единицах количество тепла, подводимое (отводимое) в единицу времени к индивидуальному объему извне за счет теплопроводности или лучеиспускания; множитель в левой и правой частях обозначает механический эквивалент тепла позволяющий все члены уравнения (41) выражать в одинаковых механических единицах мощности.

Следуя приемам предыдущего параграфа, выразим обе части уравнения (41) как объемные интегралы от соответствующих величин.

Левую часть уравнения (41), используя закон сохранения элементарной массы (15), преобразуем так:

Новерчпостный интеграл в правой части (41) можно на основании формул (0) преобразовать к виду:

или, воспользовавшись (формулой гроградского (66) гл. I,

Введем обозначение:

где под условимся понимать секундный приток тепла к бесконечно малому объему в данной точке, отнесенный к массе этого объема.

Подставляя в уравнение (41) найденные выражения поверхностных интегралов через объемные и используя произвол в выборе объема получим уравнение баланса энергии в дифференциальной форме:

В декартовой системе координат, если выписать явно значении индивидуальной производной и дивергенции, уравнение (45) примет вид:

Величина секундного притока тепла, отнесенного к единице массы, может быть определена, если известен сам процесс притока I сила.

Основным механизмом распространения текла в жидкости или газе является теплопроводность. Замечая, что количество тепла проходящего в единицу времени через площадку рамно по известной формуле Фурье

где - коэффициент теплопроводности, а производная берегся по направлению нормали к площадке будем иметь:

откула по формуле Острограаского гл. 1:

или, сравнивая с равенством (44), определяющим

Коэффициент теплопроводности в газах зависит от температуры, так что в общем случае величину а за знак дифференциального оператора выносить нельзя; об этом подробнее будет сказано в гл. VIII.

Заметим, что при малых разностях температур в потоке можно в первом приближении положить в этом случае будем иметь

где -символ оператора Лапласа.

Приток (положительный или отрицательный) тепла может происходить также благодаря лучеиспусканию (например, в топках котлов, в металлургических печах, в атмоссфере под влиянием солнечной радиации и др.) и по другим физическим (конденсация, парообразование и др.) и химическим (горение и др.) причинам.

Полученная система динамических - (22) и (30) — и энергетического (46) уравнений, как легко заключить по внешнему их виду, крайне сложна, кроме того, число входящих в систему уравнений на много меньше числа неизвестных, так что система является незамкнутой, неопределенной. Для доопределения системы и возможного ее Упрощения приходится делать ряд дополнительных допущений, приводящих к более или менее отвлеченным схемам движения жидкости

или газа. Таковы, например, схемы идеальной, т. е. не обладающей внутренним трением (вязкостью) несжимаемой жидкости и идеального сжимаемого газа, вязкой ньютоновской и неньютоновских жидкостей и мн. др. Основные из этих схем будут рассмотрены в дальнейшем на протяжении настоящего курса.

Остановимся сначала на одном практически важном и интересном случае применения выведенных общих уравнений на учении о равновесии жидкости и газов. В этом случае, как будет показано, составленных уравнений достаточно для любой жидкой или газообразной среды, удовлетворяющей лишь двум основным принципам, изложенным во введении: непрерывности и легкой подвижности.