§ 38. Построение полей течения по заданной характеристической Функции. Простейшие плоские потоки и их наложение

Будем задаваться некоторыми простейшими выражениями для комплексного потенциала и посмотрим, каким плоским безвихревым движениям такое задание будет соответствовать.

1°. Линейная функция где а и b - комплексные постоянные, причем, как уже ранее упоминалось, аддитивная Постоянная без ущерба для дела может быть просто опущена,

Составляя сопряженную скорость

видим, что комплексная константа представляет одинаковую но величине и направлению во веем потоке сопряженную скорость. Одинаковой будет комплексная скорость

Следовательно, линейная функция определяет комплексный потенциал однородного потока со скоростью наклоненного к действительной оси физической плоскости под углом (рис. 57):

Рис. 57.

Отделяя действительную и мнимую части, найдем потенциал скоростей

и функцию тока

В частных случаях получим:

Это будут потенциалы скоростей и функции тока однородных потоков, направленных вдоль осей х и у.

2°. Степенная функция действительная величина). Заметим, что в этом случае сопряженная скорость

будет стремиться к бесконечности при если и к нулю при случай уже рассмотрен в 1°. Введем полярные координаты, положив

тогда:

Линии тока будут представляться семейством

Полагая здесь видим, что при этом т. е. роль нулевой линии тока играет совокупность лучей, выходящих из начала координат. Областью течения являются части плоскости, заключенные в углах Рассмотрим простейшие случаи.

При потоки будут иметь вид, изображенный на рис. 58. При дальнейшем возрастании угол с - будет уменьшаться, количество ячеек возрастать.

Изопотенциальные линии имеют уравнением

или что все равно,

Рис. 58.

Это уравнение — того же семейства кривых, что и линии тока, но повернутого на угол Изопотенциальные линии показаны на том же рис. 58 пунктиром. При оба семейства — прямые, при гиперболы,

Больший интерес для дальнейшего представляет случай Уравнение линий тока будет

Это, как легко сообразить, семейство окружностей, проходящих через начало координат (рис. 59) и соприкасающихся в этой точке с осью Физический смысл константы а в выражении комплексного потенциала

и более глубокое представление о самом движении будет дано в следующем пункте. Скорость течения обращается в бесконечность в начале координат и в нуль при Изопогенциальные линии, по предыдущему, представятся той же сеткой окружностей (на рис. 59 показанных пунктиром), но повернутой по предыдущему на Оба семейства окружностей взаимно ортогональны.

Рис. 59.

Рис. 60.

Отметим еще случай с характеристической функцией и углом Чтобы найти линии тока, в этом случае лучше всего поступить так. Перепишем уравнение, определяющее характеристическую функцию, в виде

тогда, сравнивая действительные и мнимые части и полагая в полученных при этом равенствах найдем уравнение семейства линий тока в параметрическом виде

Исключая параметр получим семейство парабол

с вершинами на отрицательной части оси х, являющейся для парабол осью симметрии (рис. 60),

По общему свойству степенных комплексных потенциалов изопотенциальные линии получатся поворотом линий тока на

или, что в данном случае все равно, зеркальным отображением в оси Рассматривая положительную часть оси как некоторую твердую стенку, получим картину перетекания жидкости из верхней части полуплоскости в нижнюю при наличии огибания стенки Заметим, что скорость течения в точке равна бесконечности:

вблизи этой точки наблюдается резкое сгущение линий тока. 3°. Логарифмическая функция

Предположим сначала, что А — действительная величина. Полагая получим

откуда:

Линиями тока служат лучи выходящие из начала координат; изопотенциальными линиями — ортогональные к ним окружности (рис. 61а).

Рис. 61.

Картина линий тока соответствует плоскому истечению жидкости из точечного источника, находящегося в начале координат (на самом же деле — из источников, непрерывно распределенных по оси Чтобы найти гидродинамическое значение коэффициента А, введем в рассмотрение мощность или интенсивность источника определив эту величину как секундный объемный

расход жидкости, отнесенный, конечно, к единице длины в перпендикулярном к плоскости течения направлении. Имеем:

откуда следует

Условимся наряду с источником рассматривать сгок, отличающийся лишь направлением стрелок на линиях тока (рис. 61б). Тогда в общем случае будем иметь характеристическую функцию Для расположенного в начале координат источника или стока мощности в виде

причем верхний знак относится к источнику, нижний — к стоку, при желании знак можно включать в определение величины считая положительным в случае источника и отрицательным — в случае стока.

Рис. 62.

Пусть теперь А — чисто мнимая величина, равная где В — уже действительная величина. Комплексному потенциалу

как уже ранее было указано, будет соответствовать та же сетка кривых линий, что и в случае источника (стока), но линии тока и изопотенциальные линии поменяются местами (рис. 62). Картина линий тока соответствует так называемому циркуляционному движению жидкости вокруг изолированного точечного вихря, расположенного в начале координат, или, правильнее сказать, вокруг вихревой нити совпадающей с осью

Чтобы найти смысл действительной постоянной В, вычислим циркуляцию скорости но некоторой окружности радиуса

Будем иметь:

откуда вытекает

Б зависимости от направления движения частиц будем иметь:

причем верхний знак, как легко сообразить, будет соответствовать вращению по часовой стрелке, нижний — обратному вращению. Можно так включить в определение величины и считать циркуляцию положительной тогда, когда при обходе частицей жидкости окружности площадь круга остается слева; этому соответствует комплексный потенциал циркуляционного потока

Заметим, что как в случае источника (стока), так и в случае вихря распределение скоростей по абсолютной величине отвечает формуле

т. е. величина скорости обратно пропорциональна расстоянию от источника или вихря. В начале координат, где источник или вихрь расположены, скорость бесконечно велика; начало координат является особой точкой поля скоростей, а сами образы источника (стока) или вихря называют гидродинамическими особенностями, потока. В дальнейшем нам придется иметь дело и с другими "особенностями" потока: диполем, вихреисточником.

Рассмотренные только что течения являются безвихревыми движениями несжимаемой жидкости, т. е. во всех точках области течения, исключая начало координат, которое является особой точкой, выполняются соотношения:

в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием. В начале координат производные приобретают бесконечные значения.

Ьсли источник (сток) или вихрь находятся не в начале координат, а в некоторой точке с комплексной координатой то выражения характеристических функций будут:

источник (сток):

Вихрь

Рассмотрим, наконец, случай комплексного коэффициента при Логарифме, а именно:

где действительные величины. Такой комплексный потенциал можно рассматривать как результат наложения друг на друга двух потоков с комплексными потенциалами:

т. е. наложение на источник (сток) вихря. Сложное движение, составленное из этих двух движений, представляет течение жидкости вокруг вихреисточника (вихрестока) со спиралевидными линиями тока (логарифмическими спиралями), показанными на рис. 64.

Если, вообще,

то в составном потоке комплексный вектор скорости будет равен сумме комплексных векторов скоростей слагаемых потоков и 1/2. Действительно,

а следовательно, переходя от сопряженных комплексов к основным, получим:

Рис. 63.

На этом основан простой графический прием построения линий тока сложного потока по линиям тока слагаемых потоков.

Рассмотрим (рис. 63) две пары смежных линий тока двух слагаемых потоков: пересекающихся под некоторым углом, причем предположим, что эти линии тока проведены так, чтобы расходы жидкости сквозь трубки тока были одинаковы, т. е. отсюда, конечно, не следует, что расстояния между линиями тока в каждой из двух пар должны быть равны между собою. Можно лишь утверждать, что, если

С другой стороны, площадь малого параллелограма раина одному из следующих равных между собою выражений:

Деля обе части этого равенства соответственно на обе части предыдущего, получим

откуда следует, что отрезки и в некотором масштабе выражают скорости или элементарные перемещения частиц слагаемых движений. Проведя диагональ параллелограма получим в том же масштабе величину и направление скорости V, или элементарного перемещения сложного движения. Отрезок вместе с тем дает элемент дуги линии тока сложного движения.

Таким образом, построив достаточно плотную сетку линий тока двух налагаемых друг на друга движений, простым проведением диагоналей элементарных параллелограмов найдем сетку линий тока сложного движения. Единственную трудность представляет выполнение построения сеток линий тока слагаемых движений, удовлетворяющих условию одинаковости расхода.

На рис. 64 приводится построение линий тока в случае вихре-источника или вихрестока. Лучи (линии тока источника), выходящие из центра, проведены друг по отношению к Другу под углами в расстояния между окружностями (линиями тока вихря) подобраны так, чтобы расходы между каждыми двумя смежными окружностями были равны между собой и одинаковы с расходами между двумя смежными линиями тока источника.

Другим любопытным случаем наложения потоков является диполь. Возьмем на положительной части оси х источник мощности находящийся на расстоянии от начала координат, и эквивалентный ему по мощности сток на том же расстоянии от начала, но с отрицательной стороны оси х. Комплексный потенциал такой системы источника и стока будет, очевидно, равен

Если, сохраняя неизменным устремить к нулю, то Сток поглотит жидкость из источника и никакого движения не произойдет. Поступим иначе: устремив к нулю, одновременно будем увеличивать до бесконечности так, чтобы произведение мощности на Расстояние между источником и стоком осталось конечным и равным некоторой величине

Тогда комплексный потенциал у приобретет следующее предельное выражение:

Такой поток был уже разобран в предыдущем пункте, его линии тока и изопотенциальные линии показаны на рис. 59.

Рис. 64.

Предельный образ двух бесконечно близких особых точек — источника и стока с бесконечно большими интенсивностями — называют диполем, а величину (она может быть как положительной, так и отрицательной) — моментом диполя.