§ 67. Поперечное обтекание тел вращения. Пример эллипсоида вращения

Наряду с продольным обтеканием тела вращения, параллельным его оси (рис. 147 а), представляет интерес и поперечное обтекание, перпендикулярное (рис. 147 б) к оси симметрии тела. Из сложения этих двух потоков можно получить обтекание тела вращения под любым углом атаки, что весьма существенно. Выясним идею решения задачи о поперечном обтекании тела вращения.

В этом случае уже не получается осесимметричного движения. Уравнение Лапласа, определяющее потенциал скоростей, будет в

ортогональной системе криволинейных координат, согласно (12) § 60, иметь вид:

Сохраняя ту же систему координат что и в случае осесимметричного обтекания тела вращения, и припоминая выражения коэффициентов Ляме (53), перепишем предыдущее уравнение в форме:

Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций

тогда, подставляя последнее выражение в уравнение (59) и разделяя функции независимых переменных, получим систему уравнений -произвольное число, которое будем считать положительным и целым):

Первое уравнение имеет решение

второе, если положить и разделить переменные аналогично тому, как это ранее было сделано в уравнении (54), может быть приведено к системе уравнений:

имеющей в качестве частных решений так называемые присоединенные функции Лежандра:

Комбинируя эти функции так, чтобы выражение потенциала скоростей возмущенного движения было ограниченным при получим общее выражение потенциала скоростей:

здесь последнее слагаемое представляет собою потенциал скоростей набегающего на тело однородного потока со скоростью на бесконечности направленной параллельно оси (рис. 147 б).

Полагая в только что выведенной общей формуле потенциала:

т. е. довольствуясь решением, содержащим кроме того, представляя х по формулам, помещенным в начале предыдущего параграфа, как функцию

получим следующее выражение потенциала скоростей поперечно набегающего со скоростью К» вдоль оси потока:

или, используя определение присоединенных функций Лежандра (60),

Для определения постоянных как и ранее, следует составить граничное условие на заданной поверхности обтекаемого тела. В этом случае не осесимметричного движения функция тока отсутствует и приходится непосредственно вычислять нормальную скорость и приравнивать ее нулю.

Несколько облегчая вычисления, выпишем в выбранной системе координат ( условие, что при непроницаемости поверхности обтекаемого тела элемент дуги его меридионального сечения параллелен составляющей скорости в меридиональной плоскости (условие скольжения жидкости на поверхности тела)

или, вспоминая выражения элементов дуг координатных линий и проекций градиента потенциала на направления этих линий,

Отсюда вытекает искомое граничное условие

в котором X является заданной функцией и, согласно уравнению контура обтекаемого тела в меридиональной плоскости. Составляя частные производные от выражения (61), будем иметь:

Заменив входящие сюда выражения вторых производных на основании дифференциальных уравнений функций

получим после простых приведений

Подставляя эти выражения производных в (62) и используя ранее выведенные значения коэффициентов Ляме (53):

получим после очевидных сокращений

Имея в виду, что к представляет заданную функцию от перепишем граничное условие в окончательной форме так:

Рассмотрим поперечное обтекание эллипсоида вращения продольное осесимметричное обтекание которого было рассмотрено в предыдущем параграфе.

В этом случае граничное условие (63) можно выполнить, положив при тогда будем иметь

откуда, согласно ранее приведенному выражению следует:

Напомним, что здесь где эксцентриситет эллипса, представляющего меридиональное сечение эллипсоида. Потенциал скоростей рассматриваемого поперечного обтекания эллипсоида вращения равен по (61):

скорости определятся простым дифференцированием (65):

Решение задачи о продольном и поперечном обтекании тела вращения приводит, как это видно из содержания настоящего и предыдущего параграфов, к необходимости проведения в каждом отдельном случае трудоемких вычислений.

Эти вычисления могут быть значительно облегчены, если рассматриваемое тело имеет значительное удлинение.