§ 80. Обтекание шара при очень малых значениях числа Рейнольдса. Формула сопротивления шара по Стоксу и ее обобщения

Чтобы показать значительную математическую сложность решения задач внешнего обтекания тел вязкой жидкостью, обратимся к рассмотрению простейшего примера — обтекания шара.

Поместим центр шара радиуса а в начало координат (рис. 158) и рассмотрим обтекание шара однородным потоком со скоростью параллельной оси и направленной в положительную сторону оси.

Рис. 158.

Пренебрежем влиянием объемных сил и будем считать движение стационарным. Основное дифференциальное уравнение § 77 можно при этих условиях переписать в виде:

где как и ранее, обозначает вектор вихря:

Интегрирование этого уравнения в его общем виде даже для случая обтекания шара представляет непреодолимые затруднения из-за наличия в нем нелинейных членов — конвективного ускорения в левой части.

Значительно суживая область применения решения, поступим так. Откинем нелинейные члены в левой части уравнения, решим совокупность линеаризированного таким образом уравнения с линейным уравнением несжимаемости:

а затем, чтобы выяснить область применимости решения, оценим порядок откинутых нелинейных членов. Такой не строгий прием позволяет значительно упростить решение рассматриваемой классической задачи Стокса об обтекании шара

Исключим из первого уравнения рассматриваемой системы (34) давление для чего возьмем от обеих частей уравнения операцию будем иметь:

Заметим, что, в силу осевой симметрии обтекаиия, вихревые линии представляют окружности в плоскостях, перпендикулярных оси с центрами на этой оси. Вводя сферическую систему координат заключим о наличии у вектора вихря лишь одной составляющей которую для краткости обозначим просто включая в это обозначение знак составляющие и , очевидно, равны нулю, так как вихрь вектора направлен по касательной к вихревой линии. В силу той же симметрии имеем:

Вспоминая помещенные в конце § 60 выражения компонент вихря вектора в сферической системе координат, будем иметь:

повторяя ту же операцию:

Таким образом, уравнение (35), если обе его части спроектировать на оси сферической системы координат, сведется к одному уравнению:

решение которого можно пока подчинить лишь одному граничному условию:

Разыскивая решение уравнения (36) в виде произведения двух функций и каждая из которых зависит лишь от одной переменной, и подставляя значение

в уравнение (36), получим:

В силу назависимости координат и , левая и правая части этого равенства должны быть порознь постоянными; отсюда следует

( — произвольная постоянная):

Используя произвол в выборе постоянной, подберем ее так, чтобы второе из только что полученных уравнений имело по самому смыслу задачи периодическое решение. Заметим, что при уравнение имеет очевидное решение:

а первое уравнение системы превращается в

легко видеть, что единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее условию обращения в нуль при будет Обозначая константу через А, получим искомое решение для вихря в виде:

Обращаясь теперь к задаче разыскания сферических составляющих скорости и (составляющая в силу симметрии обтекания), имеем для их определения два уравнения: 1) уравнение (37), которое, пользуясь выражением вихря скорости через составляющие скорости в сферических координатах можно переписать в форме:

и 2) уравнение несжимаемости в сферических координатах (при :

Систему уравнений (38) и (39) надо решить при граничных условиях:

Принимая во внимание эти граничные условия, будем искать решения в форме:

где число считаем неопределенным. Подставляя выражения (41) в уравнения (38) и (39) и приравнивая коэффициенты при одинаковых тригонометрических функциях, получим:

В силу произвольности величины будем иметь при

а при

Последняя однородная система имеет решения, отличные от нуля, только при равенстве нулю определителя системы

Корни этого уравнения: причем первый отбрасывается, так как Отсюда следует равенство

все остальные и тождественно равны нулю.

Возвращаясь теперь к (41), составляем общие выражения скоростей

подчиняя которые граничным условиям (40), получим следующие два уравнения для определения коэффициентов

Найдем:

после чего окончательно получим:

Выделяя из полученных выражений составляющие скорости на бесконечности: получим составляющие "скорости возмущения" шаром безграничной вязкой жидкости

Подчеркнем, что, в отличие от обтекания шара идеальной жидкостью, где порядок этих скоростей возмущения (вспомнить § 64) был в вязкой жидкости имеет место гораздо более сильное возмущение, убывающее при удалении от шара лишь как

Распределение завихренности определится по (37) в виде

Остается найти распределение давления в потоке и трение на поверхности шара, а затем и полное сопротивление шара. Из первого уравнения (34) имеем

или в сферических координатах:

Эта система уравнений в полных дифференциалах легко интегрируется и дает искомое выражение

или, составляя по предыдущему коэффициент давления

где под подразумевается характерное для обтекания шара число Рейнольдса ( — диаметр шара):

Отметим некоторые характерные отличия обтекания шара вязкой жидкостью от обтекания его идеальной жидкостью: 1) в идеальной жидкости коэффициент давления зависит только от относительного положения точки, в которой давление определяется, и не зависит от величины тела, скорости и плотности жидкости; в вязкой жидкости коэффициент давления является функцией числа Рейнольдса обтекания, т. е. зависит от размера тела, от скорости, плотности и вязкости жидкости, 2) распределение давления по поверхности шара, согласно (42), не симметрично относительно миделевой плоскости, так что главный вектор сил давления при обтекании шара вязкой жидкостью отличен от нуля.

Касательная составляющая напряжения трения на поверхности шара будет равна

Взяв на поверхности шара поясок (на рис, 158 показанный штриховкой) с площадью умножим на эту площадь напряжение трения и давление полученные таким образом элементарные силы спроектируем на ось и просуммируем по всей поверхности шара (от до ). Тогда получим силу сопротивления в виде

Это — известная формула Стокса.

Получив искомое решение, оценим порядок откинутого нелинейного члена по сравнению с сохраненными членами справа, в частности с членом так как равен ему по величине. Имеем знак пропорциональности)

причем коэффициент пропорциональности представляет некоторую функцию безразмерных величин .

Из приведенного соотношения видно, что роль нелинейного члена — конвективного ускорения — тем меньше, чем меньше число Рейнольдса обтекания.

Полученное решение оказывается пригодным лишь для достаточно малых чисел Количественная сторона этого вопроса будет сейчас выяснена.

Заметим, что только что приведенное рассуждение применимо и для любых других движений. Можно вообще утверждать, что число служит мерой сравнительной роли инерционных и вязкостных членов в уравнениях движения. Чем меньше число тем больше роль сил вязкости в рассматриваемом движении.

Переходя в формуле (43) от силы сопротивления к коэффициенту сопротивления будем иметь:

Более точная теория Озеена — Гольдштейна дает вместо (43) разложение в ряд по степеням малого параметра

Сохраняя первый член ряда, получим решение Сгокса; два члена дают формулу Озеена

Чтобы дать представление о порядке совпадения этих теоретических формул с опытными данными и, вместе с тем, чтобы выяснить диапазон значений числа для которого допустимо пользование формулами приводим табл. 13.

Таблица 13 (см. скан)

Из этой таблицы видно, что формулу Сгокса можно применять только в случае очень малых значений чисел Рейнольдса (пыль в воздухе, мелкие шарики в масле и др.).

В настоящее время хорошо изучены стационарное и нестационарное движения шара, эллипсоида и других тел как в неограниченной, так и в ограниченной жидкости, а также вращательные их движения при малых значениях числа Рейнольдса.

Значительный практический интерес представляет рассмотрение вращательных движений цилиндра к цилиндре и сферы в сфере, когда малый зазор между ними заполнен вязкой жидкостью. Эти движения лежат в основе гидродинамической теории смазки подшипников, основоположником которой по праву считается знаменитый русский ученый и инженер . Петров. Рассмотрение этой теории, однако, представляет самостоятельный интерес и не может пайти место в настоящем курсе.

В заключение настоящего параграфа подчеркнем важный для дальнейшего факт. Вязкая жидкость оказывает движущемуся в ней поступательно, равномерно и прямолинейно шару сопротивление, следовательно, для продвижения шара в вязкой жидкости необходимо непрерывно совершать работу, которая идет на создание возмущений в покоящейся жидкости. В отличие от идеальной жидкости кинетическая энергия этих возмущений угасает, рассеивается, превращаясь, благодаря наличию сил внутреннего трения, в тепло. Вот почему при движении шара в вязкой жидкости уже не справедлив парадокс Даламбера.

Аналогичное явление имеет место и при равномерном и прямолинейном движении вязкой жидкости в цилиндрической трубе. Если бы жидкость была идеальна, то для поддержания равномерного и прямолинейного движения не надо было бы затрачивать энергии. При наличии вязкости необходимо непрерывно сообщать жидкости энергию виде, например, перепада давления; эта энергия будет рассеиваться (диссипировагься) в жидкости, превращаясь в тепло. Подсчет количества диссипированной энергии при заданном движении вязкой жидкости будет приведен в одном из следующих параграфов.