§ 77. Общие уравнения движения вязкой жидкости. Динамические уравнения и уравнение баланса энергии. Граничные условия движения жидкости с треннем и теплопроводностью

Вернемся к выведенным еще в гл. II уравнениям динамики сплошной среды (29), которые именовались "уравнениями в напряжениях", и заменим в них напряжения по формулам (12) настоящей главы. Тогда получим основную динамическую систему уравнений движения вязкого газа:

Стоящие в левой части системы проекции ускорения должны быть известным уже образом разложены на локальные и конвективные части. Основная сложность системы (14), кроме нелинейности конвективных членов, заключается еще в том, что коэффициент вязкости является функцией температуры а распределение температур, в свою очередь, как это уже известно из динамики идеального газа, зависит от поля давлений и скоростей.

Система (14) может быть записана в компактной векторной форме, если в основное уравнение динамики сплошной среды (36) гл. II подставить выражение тензора напряжений в форме (11). Тогда, вспоминая (§ 17 гл. II), что скалярная функция)

будем иметь:

Система уравнений (14) значительно упрощается в случае изотермического движения несжимаемой жидкости. Вынося в первом уравнении системы за знак производной, получим:

или, замечая, что в силу уравнения несжимаемости последняя скобка в правой части обращается в нуль:

Преобразовав аналогичным образом остальные два уравнения, будем иметь следующую систему уравнений изотермического движения несжимаемой жидкости:

или в векторном виде:

где под символом понимается вектор с проекциями

Используя легко проверяемое непосредственным дифференцированием векторное соотношение

которое в случае несжимаемой жидкости переписывается в виде:

будем иметь еще такую векторную форму того же уравнения (16):

К выведенным динамическим уравнениям присоединяется уравнение сохранения массы (или уравнение неразрывности) (21) гл. II

не зависящее, очевидно, от того, принимается ли в расчет вязкость или нет.

Уравнение баланса энергии (45) той же главы (§ 16) преобразуем в случае наличия вязкости, подставляя в него вместо выражение (9) настоящей главы.

Предварительно находим:

Произведение можно раскрыть, составив проекцию

и заключив по последнему выражению, что

с другой стороны, по известной формуле векторного анализа будем иметь:

так что

Произведем еще к уравнении (45) гл. II замену:

а по (48) гл. II:

Тогда уравнение баланса энергии примет вид:

Но, согласно уравнению (16):

следовательно, после простых приведений получим такую окончательную форму уравнения баланса энергии:

В дальнейшем удовольствуемся рассмотрением преимущественно стациоиарных движений, причем в таких условиях, когда можно пренебречь влиянием объемных сил. В этих предположениях уравнение баланса энергии упростится. Действительно, при стационарном движении

или, вспоминая неоднократно ранее употреблявшуюся формулу векторного анализа

получим

Далее, при стационарном движении, согласно уравнению неразрывности (16):

следовательно

Уравнение баланса энергии (17) в сделанных предположениях отсутствия объемных сил и стационарности примет удобный для дальнейших применений вид:

В этом уравнении использовано принятое в § 75 обозначение (5) числа а; число а для совершенных газов будем считать постоянным.

Если к выведенной системе уравнений присоединить уравнение Клапейрона

которое можно переписать в виде

уравнение (3) в форме:

то в результате будем иметь общую систему семи уравнений с семью неизвестными:

Система уравнений движения сжимаемого вязкого газа, таким образом, оказывается замкнутой — число уравнений совпадает с числом неизвестных.

Для решения этой, в общем виде весьма сложной нелинейной системы уравнений в частных производных необходимо еще знать начальные и граничные условия задачи. Укажем, что в своей общей постановке вопрос об условиях существования и единственности решения составленной системы уравнений до сих пор не решен. Соответствующие условия обычно указываются в каждом отдельном случае. Отметим лишь одну характерную физическую особенность движения жидкостей и газов с внутренним трением. При обтекании неподвижного твердого тела вязкой жидкостью обращается в нуль не только нормальная компонента скорости (условие непроницаемости, имеющее место и в идеальной жидкости), но также и касательная компонента (условие "прилипания" жидкости к стенке или отсутствия скольжения жидкости по стенке).

В число граничных условий рассматриваемой задачи входит, таким образом, рапенство нулю скорости жидкости на неподвижной твердой границе или, при движении тела в жидкости, совпадение с соответствующими скоростями точек поверхности тела скорости частиц жидкости, прилегающих к поверхности тела. Это граничное условие долгое время (еще в середине XIX в.) оспаривалось некоторыми исследователями, но в настоящее время подтверждено многочисленными прямыми и косвенными опытами. Оговоримся, однако, что в разреженных

газах условие "прилипания" газа к твердой стенке, не имеет места; в этих условиях наблюдается "скольжение" газа по стенке, которое можно считать пропорциональным производной но нормали к поверхности обтекаемого тела от касательной составляющей скорости. Не приходится и говорить о том, что условие "прилипания" совершенно теряет свою силу в сильно разреженных газах и, вообще, в тех случаях, когда длина свободного пробега молекулы становится велика по сравнению с размерами тела. В этом случае основное значение но сравнению с соударением молекул друг о друга приобретают удары молекул о поверхность тела, и предположение о "прилипании" газа к твердой поверхности теряет всякий смысл. Впрочем, такого рода "движения" газа выходят уже за рамки механики в узком смысле слова и составляют скорее предмет изучения кинетической теории газов. Заметим, что вопросы обтекания тел разреженными газами приобретают в последнее время практическое значение в связи с полетами реактивных снарядов на больших высотах, где разрежение воздуха очень велико.

Граничные условия для температуры могут быть весьма разнообразны. Наиболее часто встречается задание распределения температуры по поверхности обтекаемых тел или на стенках каналов, но которым происходит течение жидкости (газа), а также температуры набегающей жидкости "на бесконечности". В других случаях задается распределение теплоотдачи, т. е. секундного количества тепла, проходящего через единицу площади поверхности. Согласно закону Фурье (4), последнее эквивалентно заданию производной от температуры по направлению нормали к поверхности обтекаемого тела или канала. В такого рода граничных условиях заложено предположение об отсутствии "скачка температур" между обтекаемой стенкой и "прилипающими" частицами жидкости. Эти граничные условия хорошо подтверждаются опытными, исследованиями в жидкостях и неразреженных газах (точнее, при малой величине длины свободного пробега молекул по сравнению с размерами обтекаемых тел или каналов). В случае же разреженных и, особенно, сильно разреженных газов изложенные граничные условия теряют свой смысл. В разреженных газах параллельно со "скольжением" газа образуется "скачок" температур, который, гак же как и скорость скольжения, можно принять пропорциональным температурному градиенту в жидкости вблизи стенки. В сильно разреженных газах само понятие температуры (так же как и скорости) нуждается в некотором уточнении, что и делается в кинетической теории газов.

В число граничных условий входит еще задание давления в какой-нибудь одной точке, обычно вдалеке от обтекаемого тела, во входном сечении канала или др.

Начальные условии фигурируют лишь в нестационарных задачах и представляют собою задание пространственных распределений скоростей и температур в некоторый "начальный" момент времени.

Прежде чем перейти к иллюстрации характерных особенностей решения уравнений движения неидеальной жидкости, остановимся на важном для практики вопросе об условиях подобия двух движений реальной жидкости.