§ 19. Давление тяжелой несжимаемой жидкости на поверхность тела. Сила и момент, приложенные к телу, плавающему в тяжелой жидкости. Случай вращающейся жидкости

Главный вектор и главный момент сил давления жидкости на некоторую твердую поверхность о определяются интегралами орт нормали к поверхности о, направленный внутрь жидкости)

причем поверхность а, вообще говоря, незамкнута. В частном случае тяжелой жидкости, заменяя давление его выражением (78), получим:

Если поверхность о представляет как угодно наклоненную плоскую стенку, то и первая из формул (88) дает

где (рис. 29) обозначает вертикальную координату центра тяжести С площади а. Равенство (89) показывает, что главный вектор сил давления жидкости на любую плоскую площадку, как угодно наклоненную к горизонту, равен по величине весу цилиндрического столба жидкости, имеющего своим основанием площадку, а высотой — глубину центра тяжести площадки под свободной поверхностью жидкости,

Этот факт независимости давления жидкости на стенку сосуда от формы сосуда, в который жидкость налита, был открыт Паскалем и получил естественное для своего времени наименование гидростатического парадокса.

Вектор-радиус и координаты центра давления — так называют точку приложения равнодействующей системы параллельных сил давления на площадку можно найти по теореме о моменте равнодействующей:

Возьмем в плоскости расположения площадки в следующую систему координат: ось проведем вдоль линии пересечения плоскости

Рис. 29.

со свободной поверхностью, ось — по перпендикуляру к оси вглубь жидкости, ось нормали к площадке вниз. Замечая, что и что, кроме того, для всех точек наклонной плоскости:

получим, проектируя (90) на новые оси,

или по (89):

Обращает на себя внимание факт независимости положения центра давления от наклона площадки. Как показывают формулы (91),

задача об определении центра давления жидкости на наклонную площадку сводится к разысканию центра тяжести, момента инерции и центробежного момента площади.

Если поверхность а замкнута и ограничивает некоторый конечный объем то по (87) и интегральной формуле (70) гл. I получим:

В случае тяжелой жидкости имеем, согласно уравнению Эйлера (57),

где вектор ускорения силы тяжести, плотность жидкости. Подставляя в (89), найдем

Равенство (94) показывает, что главный вектор сил давления жидкости на поверхность погруженного в нее тела равен по величине весу жидкости в объеме тела и направлен в сторону, противоположную силе веса. Это классический закон Архимеда. Силу иногда называют архимедовой или гидростатической подъемной силой в знак того, что эта сила стремится вытолкнуть тело из жидкости, заставить его всплыть. Тяжелое тело, погруженное в жидкость, "теряет" в своем весе столько, сколько весит вытесненная телом жидкость.

Легко находится также и главный момент сил давления жидкости на погруженное тело. Имеем но (87) и интегральной формуле (73) гл. I:

или, применяя известную формулу векторного анализа

приводящую в данном конкретном случае к равенству

так как

получим

или, согласно (93),

Замечая еще, что вектор-радиус центра тяжести вытесненного объема равен

и что, очевидно,

получим по (94):

Полученная формула показывает, что линия действия главного вектора сил давления жидкости на погруженное в нее тело проходит через центр тяжести (рис. 30) вытесненного телом объема жидкости. Не следует, конечно, смешивать центра тяжести погруженного твердого тела С с центром тяжести вытесненного объема жидкости Погруженное тело, например корабль, может быть неоднородным, с переменным размещением масс в нем; при этом центр тяжести будет занимать различные положения по отношению к твердому телу, центр же тяжести вытесненного жидкого объема зависит от формы внешней поверхности твердого тела и при данной форме этой поверхности будет занимать вполне определенное положение. Если данное твердое тело будет занимать различные положения в жидкости (например качка корабля), то положение центра его тяжести по отношению к телу не меняется, центр же тяжести вытесненного объема будет при этом перемещаться.

Рис. 30.

По терминологии, установившейся в статике корабля, центр тяжести вытесненного объема жидкости называют центром величины.

Твердое тело, погруженное в жидкость, будет в равновесии, если вес тела равен весу вытесненной им жидкости и, кроме того, центр величины окажется на одной вертикали с центром тяжести. Если при этом центр величины лежит выше центра тяжести, то такое равновесие будет, очевидно, устойчивым (рис. 30, наверху), если же центр величины окажется расположенным ниже центра тяжести, то такое

равновесие будет неустойчивым и пара сил опрокинет тело (рис. 30, внизу).

Отклоним плавающее тело на малый угол а от положения равновесия, при котором точки лежали на одной вертикальной прямой Через новое положение центра величины проведем вертикаль до пересечения с отклоненным положением прямой в точке называемой метацентром. Расстояние между метацентром и центром тяжести тела определяет метацентрическую высоту. Пара сил в случае устойчивого равновесия восстанавливающая равновесие, а в случае неустойчивого равновесия опрокидывающая тело, будет иметь момент

Если метацентр выше центра тяжести, тело вернется в положение равновесия, если метацентр ниже центра тяжести, тело опрокинется.

Рассмотрим в заключение еще вопрос об определении главного вектора сил давления однородной тяжелой жидкости на погруженное в нее тело при равномерном вращении жидкости вместе с погруженным в нее телом.

Применим вновь формулу (89), но заметим, что в настоящем случае градиент давления по (80) будет равен:

тогда получим

где под подразумевается вектор, направленный но кратчайшему расстоянию от оси вращения до центра тяжести вытесненного объема и равный по величине этому расстоянию

Формула (98) показывает, что при равномерном вращении жидкости с полностью увлекаемым ею во вращение телом давление жидкости на поверхность тела складывается из архимедовой подъемной силы, аналогичной той, которая была бы в неподвижной жидкости, и еще дополнительной архимедовой силы,

играющей роль центростремительной силы притяжения тела к оси вращения и равной по величине произведению массы жидкости

в объеме тела на квадрат угловой скорости вращения и кратчайшее расстояние от оси до центра тяжести вытесненного объема жидкости.

Полученный результат можно положить в основу объяснения многих явлений и прежде всего описания процесса центрифугирования. Пусть плотность находящегося в жидкости тела равна причем тело будем считать однородным и полностью погруженным. Тогда, прикладывая к такому, вращающемуся вместе с жидкостью, телу центробежную силу, равную ( масса тела)

и учитывая вес этого тела можем судить об относительном равновесии тела в жидкости по разности векторов приложенных к нему сил: веса и центробежной силы с одной стороны, и архимедовых подъемной и центростремительной сил — с другой; эта разность равна:

Из рассмотрения этой разности сразу видно, что: 1) если плотность вращающихся вместе с жидкостью тел больше плотности жидкости то такие тела будут тонуть во вращающейся жидкости и отбрасываться на периферию, 2) если же плотность тел меньше плотности жидкости то такие тела будут всплывать и приближаться к оси вращения. Так, например, в маслобойных центрифугах зерна образовавшегося масла, более легкие, чем окружающая их водянистая сыворотка, всплывают наверх и собираются вблизи оси центрифуги.

Как непосредственно следует из последней формулы, равновесие возможно лишь при условии одинаковой плотности жидкости и погруженных в нее тел