§ 42. Прямая задача в теории плоского движения идеальной несжимаемой жидкости. Применение метода конформных отображений. Гипотеза Чаплыгина о безотрывном обтекании задней кромки профиля. Формула циркуляции

В предыдущих параграфах рассматривалась простейшая задача плоского движения. По заданному комплексному потенциалу определялась форма линий тока, часть которых принималась за контуры обтекаемых тел, часть — за обыкновенные жидкие линии тока и, наконец, в случае разрывных обтеканий некоторые линии тока играли особую роль "свободных" линий тока, сорнавшихся с острых кромок обтекаемых тел. Такая задача определения формы обтекаемого тела по заданному комплексному потенциалу течения могла бы быть названа «обратной" задачей.

Гораздо большее значение имеет прямая задача разыскания плоского обтекания тел заданной формы. Для решения этой основной задачи существуют два пути: 1) непосредственное решение уравнений Лапласа, которым удовлетворяют потенциал скоростей и функция тока,

или заменяющих эти уравнения интегральных уравнений и 2) применение методов конформных отображений. Второй метод, как практически наиболее простой, получил в последнее время широкое распространение. Основная идея метода заключается в следующем. Желая определить обтекание тела заданной, подчас очень сложной формы в физической плоскости комплексного переменного производят конформное отображение течения на вспомогательную плоскость комплексного переменного при помощи некоторой аналитической функции

причем предполагается, что преобразованное течение в плоскости проще, чем в плоскости и комплексный его потенциал уже известен.

Искомый комплексный потенциал течения в физической плоскости z находится как результат исключения вспомогательного переменного С из системы равенств:

причем в некоторых случаях это исключение не представляет труда и приводит к равенству

в других случаях оказывается проще пользоваться параметрическим определением при помощи системы (75). В последнем случае сопряженная скорость V определится в результате исключения С из системы равенств:

Наконец, в некоторых особо сложных случаях приходится для упрощения решетки прибегать к нескольким вспомогательным плоскостям.

Рис. 84.

Остановимся подробнее на наиболее важной для дальнейшего задаче внешнего обтекания замкнутого гладкого контура с одной или двумя угловыми точками. Такого типа контуры (рис. 84) используются как профили винта а и крыла самолета, лопаток рабочих колес и направляющих аппаратов турбомашин и др. Набегающий поток зададим вектором скорости на бесконечности.

В этом конкретном случае будем предполагать, что аналитическая функция (74) дает конформное отображение внешней по отношению к контуру С (рис. 85) части плоскости включая и "бесконечно удаленную точку" на внешнюю, по отношению к контуру С круга радиуса а, часть плоскости С также со включением точки

Рис. 85.

Для того чтобы такое отображение было взаимно-однозначным, необходимо, как известно, потребовать, чтобы бесконечно удаленная точка переходила в бесконечно удаленную точку и чтобы в этой точке сохранялось направление некоторой прямой, например, направление скорости на бесконечности

Замечая, что по первому равенству (76)

где под комплексной величиной здесь и в дальнейшем будем понимать коэффициент конформного преобразования

заключим, что условие

эквивалентно требованию, чтобы коэффициент конформного преобразования в бесконечно удаленной точке был действительной и положительной величиной

и следовательно,

Комплексный потенциал обтекания круга в плоскости С известен и будет равен, по (46) и (48):

где произвольная, наложенная на круговой цилиндр циркуляция; одну из постоянных (коэффициент преобразования или радиус круга а) можно задавать совершенно произвольно, например, полагать равной единице.

Таким образом, решение задачи внешнего обтекания контура С свелось к исключению параметра С из системы уравнений:

Докажем, что циркуляция скорости по любому замкнутому контуру (на рис. 85 показанному пунктиром), один раз опоясывающему крыловой контур С, будет равна наложенной на обтекание круга в плоскости С циркуляции Для этого заметим, что по определению циркуляции и по (78) можно написать -символ действительной части):

Эта общая для обеих плоскостей постоянная является характерной для данного течения в двусвязной области и может (см. § 35) рассматриваться как "циклическая постоянная" двусвязной области плоскости вне контура С. При конформном отображении этой двусвязной области на плоскость С циклическая постоянная сохраняет свое значение.

Из системы равенств (78) следует, что задача об обтекании профиля С потоком заданной по величине и направлению скорости на бесконечности имеет бесчисленное множество решений, зависящих от выбора величины циркуляции С точки зрения математической теории идеальной жидкости такой произвол отвечает сущности вопроса. Как уже было показано раньше для случая обтекания окружности, налагая ту или другую циркуляцию, можно получить бесчисленное множество форм обтекания кругового цилиндра с различным расположением критических точек (типичные обтекания показаны на рис. 68). Точно так же для одного и того же крылового профиля с угловой

точкой на задней кромке и при той же по величине и направлении скорости на бесконечности теоретически возможны три указанные на рис. 86 типа обтекания. В случае а, так же как и в случае в, жидкость должна перетекать с одной стороны поверхности крыла на другую: с верхней на нижнюю в случае нижней на верхнюю в случае а. При этом на острой кромке должны образовываться либо бесконечно большие скорости, что приводит к физически невозможным бесконечно большим отрицательным давлениям, либо происходить срывы потока с поверхности профиля и вихреобразования. Среди трех указанных возможных форм обтекания только одна форма "б" приводит к плавному отеканию струй жидкости с задней острой кромки крыла с конечной скоростью в этой угловой точке В. Естественно, встают вопросы: осуществляется ли такая форма обтекания в действительности, устойчива ли она и сохраняется ли при достаточно широком диапазоне углов атаки. На эти важные вопросы впервые ответил С. А. Чаплыгин, выдвинувший в конце 1909 г. в дискуссии по докладу Н. Е. Жуковского новый постулат, получивший широкое применение под именем постулата Жуковского — Чаплыгина. Согласно этому, в настоящее время хорошо проверенному на опыте постулату, для каждого крылового профиля с острой задней кромкой существует более или менее широкий диапазон углов атаки, при котором профиль обтекается без отрыва струй, с конечной скоростью на задней кромке. Крыловые, так же как и винтовые, лопаточные и другие профили, отвечающие постулату Чаплыгина, будем в дальнейшем называть хорошо обтекаемыми, остальные — "плохо обтекаемыми". Само собой разумеется, что обтекаемость не есть чисто геометрическое свойство профилей. В дальнейшем будет показано, что на самом деле обтекаемость зависит не только от формы профиля, но и от угла атаки, скорости потока, присутствия вблизи профиля других тел и т. п. Профиль "хорошо обтекаемый" при одних условиях может стать "плохо обтекаемым" — при других. В дальнейшем, говоря об обтекании тел идеальной жидкостью, будем предполагать, что это обтекание происходит с конечными скоростями во всех точках поверхности тела.

Рис. 86.

Принятие постулата Жуковского-Чаплыгина позволяет однозначно определить величину циркуляции наложение которой приводит к безотрывной форме обтекания с конечной скоростью на задней острой «ромке.

Для определения этой циркуляции, вернемся к рассмотрению конформного отображения внешней по отношению к профилю С (рис. 87) области физической плоскости z на внешнюю по отношению к кругу С часть вспомогательной плоскости С. Пусть угловой точке В на профиле С соответствует некоторая точка В на окружности круга С. Эти точки являются особыми точками преобразования, так как в них нарушается основное свойство конформного преобразования — сохранение углов. Действительно, внешний угол с вершиной в точке В на задней кромке, равный где -острый угол задней кромки, переходит в плоскости С в неравный ему угол с вершиной в точке В.

Рис. 87.

Легко составить аналитическое выражение функции, совершающей такое отображение, в областях, близких к особым точкам в плоскостях z и Покажем, что это будет функция

где комплексные координаты точек -некоторое действительное число.

Для этого проведем вокруг точек окружности произвольных малых радиусов и обозначим через углы, образованные этими радиусами с осями Тогда предыдущее равенство перейдет в такое:

Приравнивая аргументы левой и правой частей, убедимся что, действительно, изменению 3 на соответствует изменение В на

Имея преобразующую функцию (79), можем теперь установить связь между скоростями в точках По ранее выведенным формулам получим:

или, вычисляя производную по (79),

Согласно гипотезе Чаплыгина, скорость должна быть конечна, последний же сомножитель, поскольку обращается в нуль; следовательно, все произведение равно нулю. Отсюда вытекает важное заключение: если задняя острая кромка является точкой плавного стекания струй с конечной скоростью, то соответствующая задней кромке точка круга во вспомогательной плоскости должна быть критической.

Из этого условия найдем циркуляцию если, используя (77), напишем, что скорость в точке 5 равна нулю:

Полагая здесь:

где полярный угол точки В, а — радиус круга угол, образованный скоростью на бесконечности с осями или получим

откуда найдем

или, переходя от показательных функций к тригонометрическим,

Легко сообразить, что при обтекании, показанном на рис. так как направление скорости на бесконечности параллельно линии, соединяющей критические точки А и в этом случае т. е. наложенная циркуляция должна соответствовать вихрю,

вращающему жидкость по часовой стрелке для наблюдателя, смотрящего на чертеж.

Введем обозначение

и перепишем формулу (80) в виде:

Повернем по отношению к заданному потоку профиль так, чтобы и без наложения циркуляции задняя кромка оказалась точкой плавного схода струй. Отметим на самом профиле в виде некоторой прямой (рис. 88а) направление скорости на бесконечности, соответствующее этому бесциркуляционному безотрывному обтеканию.

Жестко связанную с профилем прямую будем называть направлением бесциркуляционного обтекания, а соответствующее значение угла -углом, бесциркуляционного обтекания профиля.

Рис. 88.

Повернув профиль на угол а (рис. 88 б), получим вновь безотрывное, но уже циркуляционное обтекание с циркуляцией, определяемой равенством (81).

Острый угол а между направлением скорости набегающего потока и направлением бесциркуляционного обтекания будем в дальнейшем называть теоретическим углом атаки, в отличие от других общепринятых практических углов атаки, определяемых как углы между направлением скорости на бесконечности и "хордами" крыла, задаваемыми разнообразными способами.

Сравним между собою формулу (81) и формулу (61), которая давала значение циркуляции, накладываемой на пластинку для того, чтобы задняя ее кромка была точкой плавного схода струй. Формулы эти станут тождественными, если заметить, что направление бесциркуляционного обтекания пластинки совпадает с направлением самой пластинки, а теоретический угол атаки а равен углу скорости на бесконечности с осью В этом случае, производя отображение пластинки длины на круг радиуса а, убедимся, что произведение равно .

Прежде чем перейти к иллюстрации метода конформных отображений, выведем общие выражения главного вектора и момента сия давления, приложенных к обтекаемому контуру со стороны потока.